Análise da solução de equações lineares com coeficientes intervalares em diferentes aritméticas intervalares

Detalhes bibliográficos
Autor(a) principal: Finger, Alice Fonseca
Data de Publicação: 2019
Tipo de documento: Tese
Idioma: por
Título da fonte: Repositório Institucional da UFPel - Guaiaca
Texto Completo: http://guaiaca.ufpel.edu.br/handle/prefix/4825
Resumo: Quando se trabalha com números de ponto flutuante o resultado é apenas uma aproximação de um valor real e erros gerados por arredondamentos ou por instabilidade dos algoritmos podem levar a resultados incorretos. Utilizando-se intervalos para representação dos números reais, é possível controlar a propagação desses erros. A aritmética intervalar mais conhecida e utilizada na literatura surgiu em 1966, definida por Moore. Porém, trabalhos recentes mostram diferentes aritméticas intervalares sendo aplicadas no lugar da aritmética de Moore, uma vez que ela apresenta diversas restrições, retornando muitas vezes resultados incompletos, inclusive em equações simples, como no caso das equações lineares. Diante de diversas aritméticas intervalares presentes na literatura, o objetivo principal da tese é analisar as soluções de equações lineares com coeficientes intervalares nas seguintes aritméticas: Moore com Teoria das Aproximações Intervalares, Markov, Affine, Constrained Interval Arithmetic e Relative Distance Measure e investigar qual provê uma solução completa para resolver tais equações. As análises das formas genéricas de solução das equações lineares, juntamente com a aplicação de um exemplo numérico demonstram que, para as equações lineares A + X = B, AX + B = C,AX + BX = C e AX + B = CX + D somente as aritméticas de Moore com Teoria das Aproximações Intervalares, CIA e RDM retornam solução completa para as quatro equações. Com a finalidade de complementar este resultado, desenvolvemos análise de complexidade de cada solução completa nas aritméticas intervalares de Moore com Teoria das Aproximações Intervalares, CIA e RDM para investigar o esforço computacional de computar cada solução, obtendo como resultado para aritmética de Moore com Teoria das Aproximações Intervalares, ordem constante de complexidade, e ordem linear para as aritméticas CIA e RDM. Além disso, é importante observar que o problema de calcular a solução completa para equações lineares com coeficientes intervalares é dito tratável ou computável. Após as análises das soluções e complexidade verifica-se que a aritmética de Moore, sempre que possível, deve ser utilizada para obter a solução completa. Já nos casos onde Moore não retorna solução completa, CIA e RDM são as aritméticas indicadas para solução.
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Porém, trabalhos recentes mostram diferentes aritméticas intervalares sendo aplicadas no lugar da aritmética de Moore, uma vez que ela apresenta diversas restrições, retornando muitas vezes resultados incompletos, inclusive em equações simples, como no caso das equações lineares. Diante de diversas aritméticas intervalares presentes na literatura, o objetivo principal da tese é analisar as soluções de equações lineares com coeficientes intervalares nas seguintes aritméticas: Moore com Teoria das Aproximações Intervalares, Markov, Affine, Constrained Interval Arithmetic e Relative Distance Measure e investigar qual provê uma solução completa para resolver tais equações. As análises das formas genéricas de solução das equações lineares, juntamente com a aplicação de um exemplo numérico demonstram que, para as equações lineares A + X = B, AX + B = C,AX + BX = C e AX + B = CX + D somente as aritméticas de Moore com Teoria das Aproximações Intervalares, CIA e RDM retornam solução completa para as quatro equações. Com a finalidade de complementar este resultado, desenvolvemos análise de complexidade de cada solução completa nas aritméticas intervalares de Moore com Teoria das Aproximações Intervalares, CIA e RDM para investigar o esforço computacional de computar cada solução, obtendo como resultado para aritmética de Moore com Teoria das Aproximações Intervalares, ordem constante de complexidade, e ordem linear para as aritméticas CIA e RDM. Além disso, é importante observar que o problema de calcular a solução completa para equações lineares com coeficientes intervalares é dito tratável ou computável. Após as análises das soluções e complexidade verifica-se que a aritmética de Moore, sempre que possível, deve ser utilizada para obter a solução completa. Já nos casos onde Moore não retorna solução completa, CIA e RDM são as aritméticas indicadas para solução.When working with floating point numbers the result is only an approximation of a real value and errors generated by rounding or by instability of the algorithms that can lead to incorrect results. Using intervals for the representation of real numbers, it is possible to control this error propagation. The most widely used interval arithmetic in literature came in 1966, defined by Moore. However, recent papers show different interval arithmetic applied in place of the Moore’s arithmetic, since it has several faults, often returning incomplete results, including in simple equations, as in the case of linear equations. With several interval arithmetics present in the literature the main objective of the thesis is to analyze the solutions of linear equations with interval coefficients in the following arithmetic: Moore with Interval Approximation Theory, Markov, Affine, Constrained Interval Arithmetic, and Relative Distance Measure and investigate which provides a correct solution to solve these equations. The analyzes of the generic solution forms of the linear equations, together with the application of a numerical example demonstrate that, for the linear equations AX + B = C, AX + BX = C and AX + B = CX + D, only Moore’s arithmetic with Interval Approximation Theory, CIA and RDM returns complete solution for the four equations. In order to complement this result, we developed analysis of the complexity of each correct solution in arithmetic intervals of Moore with Interval Approximation Theory, CIA and RDM to investigate the computational effort to compute each solution, obtaining as a result for Moore’s arithmetic, constant order of complexity, and linear order for the CIA and RDM arithmetics. Moreover, it is important to note that the problem of calculating the correct solution for linear equations with interval coefficients is said treatable or computable. After analyzing the solutions and complexity it is verified that Moore’s arithmetic, whenever possible, must be used to obtain the complete solution. In cases where Moore does not return a complete solution, CIA and RDM are the arithmetic indicated for solution.Sem bolsaporUniversidade Federal de PelotasPrograma de Pós-Graduação em ComputaçãoUFPelBrasilCentro de Desenvolvimento TecnológicoCNPQ::CIENCIAS EXATAS E DA TERRA::CIENCIA DA COMPUTACAOAritmética de MooreAritmética RDMAritmética de MarkovAritmética AffineAritmética intervalar restritaMoore’s arithmeticRDM arithmeticMarkov arithmeticAffine arithmeticConstrained interval arithmeticAnálise da solução de equações lineares com coeficientes intervalares em diferentes aritméticas intervalaresAnalysis of the solution of linear equations with interval coefficients in different interval arithmeticsinfo:eu-repo/semantics/publishedVersioninfo:eu-repo/semantics/doctoralThesishttp://lattes.cnpq.br/2691501072064698http://lattes.cnpq.br/5322246152490489Loreto, Aline BrumFinger, Alice Fonsecainfo:eu-repo/semantics/openAccessreponame:Repositório Institucional da UFPel - Guaiacainstname:Universidade Federal de Pelotas (UFPEL)instacron:UFPELTEXTTese_Alice_Finger.pdf.txtTese_Alice_Finger.pdf.txtExtracted texttext/plain201366http://guaiaca.ufpel.edu.br/xmlui/bitstream/prefix/4825/6/Tese_Alice_Finger.pdf.txt9f8488f2ff44ecbc19ead39cb7d7b197MD56open accessTHUMBNAILTese_Alice_Finger.pdf.jpgTese_Alice_Finger.pdf.jpgGenerated Thumbnailimage/jpeg1221http://guaiaca.ufpel.edu.br/xmlui/bitstream/prefix/4825/7/Tese_Alice_Finger.pdf.jpg20bd34fda6eaf594d295bd2c1baa1a59MD57open accessORIGINALTese_Alice_Finger.pdfTese_Alice_Finger.pdfapplication/pdf657843http://guaiaca.ufpel.edu.br/xmlui/bitstream/prefix/4825/1/Tese_Alice_Finger.pdfbbdda502e88fad9843ee2c65501336a6MD51open accessCC-LICENSElicense_urllicense_urltext/plain; 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