Superfícies de Weingarten no Espaço Hiperbólico
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Data de Publicação: | 2020 |
Tipo de documento: | Trabalho de conclusão de curso |
Idioma: | por |
Título da fonte: | Repositório Institucional da UFSCAR |
Texto Completo: | https://repositorio.ufscar.br/handle/ufscar/13042 |
Resumo: | Desde o surgimento da definição de superfícies parametrizadas, foi questionado sobre suas propriedades que independem da parametrização. Propriedades essas que caracterizam objetivamente a geometria dessa família facilitando muito a sua compreensão. No século 19, com o aperfeiçoamento da geometria semi-Riemanniana feito por Bernhard Riemann e Carl Friedrich Gauss, foi introduzida na literatura a noção das curvaturas média (H), gaussiana (K) e principais (k₁,...,k_{n-1}) onde n-1 é a dimensão da superfície. Essas noções independem da parametrização e são fundamentais na caracterização de uma superfície. O objetivo desse trabalho é o estudo e a caracterização de superfícies de Weingarten em espaços não triviais como , por exemplo, o espaço hiperbólico H³ , o espaço lorentziano L³ e o hiperboloide I₃ contido no espaço de Lorentz-Minkowski L⁴. Definimos uma superfície de Weingarten (de dimensão 2) como uma superfície dotada de uma relação entre suas curvaturas principais k₁ e k₂ dada por W(k₁,k₂)=0. Notemos que essa família generaliza exemplos clássicos de superfícies já estudadas atualmente, como as superfícies mínimas, onde W(k₁,k₂)=k₁+k₂ . Esse trabalho terá um enfoque especial no caso em que W(k₁,k₂)=k₁²+k₂²+C, onde C é uma constante real. Que é um caso não linear, um pouco distante da literatura atual. O segundo capítulo introduz alguns pré-requisitos de geometria Semi-Riemanniana, que serão admitidos como verdade de modo a dar suporte para todos cálculos realizados nos capítulos seguintes. O terceiro capítulo será uma breve introdução ao caso mais natural possível, onde as superfícies serão imersas no espaço euclidiano R³. O capítulo quatro englobará quase toda a teoria do primeiro capítulo aplicada no espaço hiperbólico, com enfoque nas imersões isométricas de hipersuperfícies e exemplos. O quinto capítulo abrangerá a mesma teoria do primeiro capítulo, agora aplicada no espaço de Lorentz-Minkowiski. Já no sexto capítulo, falaremos de um subconjunto do L⁴ que se relaciona com o H³: O hiperboloide I₃, com muito enfoque, novamente, na teoria de imersões isométricas de hipersuperfícies. Nesse capítulo vamos relacionar os três modelos hiperbólicos de modo a facilitar determinado problema, que talvez possa ser complexo em um determinado modelo mas não em outro. Por fim, vamos estudar o problema de superfícies de Weingarten numa dimensão maior, tratando novamente de um caso bem natural: Superfícies dentro do ℝ⁴. |
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No século 19, com o aperfeiçoamento da geometria semi-Riemanniana feito por Bernhard Riemann e Carl Friedrich Gauss, foi introduzida na literatura a noção das curvaturas média (H), gaussiana (K) e principais (k₁,...,k_{n-1}) onde n-1 é a dimensão da superfície. Essas noções independem da parametrização e são fundamentais na caracterização de uma superfície. O objetivo desse trabalho é o estudo e a caracterização de superfícies de Weingarten em espaços não triviais como , por exemplo, o espaço hiperbólico H³ , o espaço lorentziano L³ e o hiperboloide I₃ contido no espaço de Lorentz-Minkowski L⁴. Definimos uma superfície de Weingarten (de dimensão 2) como uma superfície dotada de uma relação entre suas curvaturas principais k₁ e k₂ dada por W(k₁,k₂)=0. Notemos que essa família generaliza exemplos clássicos de superfícies já estudadas atualmente, como as superfícies mínimas, onde W(k₁,k₂)=k₁+k₂ . 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Nesse capítulo vamos relacionar os três modelos hiperbólicos de modo a facilitar determinado problema, que talvez possa ser complexo em um determinado modelo mas não em outro. Por fim, vamos estudar o problema de superfícies de Weingarten numa dimensão maior, tratando novamente de um caso bem natural: Superfícies dentro do ℝ⁴.Desde o surgimento da definição de superfícies parametrizadas, foi questionado sobre suas propriedades que independem da parametrização. Propriedades essas que caracterizam objetivamente a geometria dessa família facilitando muito a sua compreensão. No século 19, com o aperfeiçoamento da geometria semi-Riemanniana feito por Bernhard Riemann e Carl Friedrich Gauss, foi introduzida na literatura a noção das curvaturas média (H), gaussiana (K) e principais (k₁,...,k_{n-1}) onde n-1 é a dimensão da superfície. Essas noções independem da parametrização e são fundamentais na caracterização de uma superfície. O objetivo desse trabalho é o estudo e a caracterização de superfícies de Weingarten em espaços não triviais como , por exemplo, o espaço hiperbólico H³ , o espaço lorentziano L³ e o hiperboloide I₃ contido no espaço de Lorentz-Minkowski L⁴. Definimos uma superfície de Weingarten (de dimensão 2) como uma superfície dotada de uma relação entre suas curvaturas principais k₁ e k₂ dada por W(k₁,k₂)=0. Notemos que essa família generaliza exemplos clássicos de superfícies já estudadas atualmente, como as superfícies mínimas, onde W(k₁,k₂)=k₁+k₂ . Esse trabalho terá um enfoque especial no caso em que W(k₁,k₂)=k₁²+k₂²+C, onde C é uma constante real. Que é um caso não linear, um pouco distante da literatura atual. O segundo capítulo introduz alguns pré-requisitos de geometria Semi-Riemanniana, que serão admitidos como verdade de modo a dar suporte para todos cálculos realizados nos capítulos seguintes. O terceiro capítulo será uma breve introdução ao caso mais natural possível, onde as superfícies serão imersas no espaço euclidiano R³. O capítulo quatro englobará quase toda a teoria do primeiro capítulo aplicada no espaço hiperbólico, com enfoque nas imersões isométricas de hipersuperfícies e exemplos. O quinto capítulo abrangerá a mesma teoria do primeiro capítulo, agora aplicada no espaço de Lorentz-Minkowiski. Já no sexto capítulo, falaremos de um subconjunto do L⁴ que se relaciona com o H³: O hiperboloide I₃, com muito enfoque, novamente, na teoria de imersões isométricas de hipersuperfícies. Nesse capítulo vamos relacionar os três modelos hiperbólicos de modo a facilitar determinado problema, que talvez possa ser complexo em um determinado modelo mas não em outro. Por fim, vamos estudar o problema de superfícies de Weingarten numa dimensão maior, tratando novamente de um caso bem natural: Superfícies dentro do ℝ⁴.Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP)2019/26839-3porUniversidade Federal de São CarlosCâmpus São CarlosMatemática - MBUFSCarAttribution 3.0 Brazilhttp://creativecommons.org/licenses/by/3.0/br/info:eu-repo/semantics/openAccessSuperficies de Weingarten, Espaço HiperbólicoCIENCIAS EXATAS E DA TERRA::MATEMATICASuperfícies de Weingarten no Espaço HiperbólicoSurfaces de Weingarten dans l'Espace Hiperboliqueinfo:eu-repo/semantics/publishedVersioninfo:eu-repo/semantics/bachelorThesis6006008f21d7f0-8ea2-44e6-9fc1-4fdc319c18acreponame:Repositório Institucional da UFSCARinstname:Universidade Federal de São Carlos (UFSCAR)instacron:UFSCARORIGINALTCC Belli Final Corrigido.pdfTCC Belli Final Corrigido.pdfMonografiaapplication/pdf707311https://repositorio.ufscar.br/bitstream/ufscar/13042/1/TCC%20Belli%20Final%20Corrigido.pdfff2b71fcc5fff38106129040ffb0a215MD51CC-LICENSElicense_rdflicense_rdfapplication/rdf+xml; charset=utf-8914https://repositorio.ufscar.br/bitstream/ufscar/13042/2/license_rdf4d2950bda3d176f570a9f8b328dfbbefMD52TEXTTCC Belli Final Corrigido.pdf.txtTCC Belli Final Corrigido.pdf.txtExtracted texttext/plain206382https://repositorio.ufscar.br/bitstream/ufscar/13042/3/TCC%20Belli%20Final%20Corrigido.pdf.txt092b0de4f1d825eaa1d50c9dff2b1251MD53THUMBNAILTCC Belli Final Corrigido.pdf.jpgTCC Belli Final Corrigido.pdf.jpgIM Thumbnailimage/jpeg5405https://repositorio.ufscar.br/bitstream/ufscar/13042/4/TCC%20Belli%20Final%20Corrigido.pdf.jpg35decc7ceaa0b55e265020d65d5fffbfMD54ufscar/130422023-09-18 18:32:00.079oai:repositorio.ufscar.br:ufscar/13042Repositório InstitucionalPUBhttps://repositorio.ufscar.br/oai/requestopendoar:43222023-09-18T18:32Repositório Institucional da UFSCAR - Universidade Federal de São Carlos (UFSCAR)false |
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