Bifurcação e estabilidade de equilíbrios de um problema de Neumann parabólico com peso indefinido em genética populacional
Autor(a) principal: | |
---|---|
Data de Publicação: | 2015 |
Tipo de documento: | Dissertação |
Idioma: | por |
Título da fonte: | Repositório Institucional da UFSCAR |
Texto Completo: | https://repositorio.ufscar.br/handle/ufscar/5914 |
Resumo: | This work is concerned with a semilinear parabolic partial differential equation under a homogeneous Neumann boundary condition occuring in population genetics. It describes the evolution of gene frequencies under selection and migration effects in a bounded domain. In the nonlinear term appearing in the equation, which is of logistic type, one has a positive parameter and an indefinite sign weight function. Considering a suitable phase space one obtains a nonlinear dynamical system, actually a gradient system, in a such way that the equilibrium solutions, or stationary solutions, play a fundamental role in the dynamics viewpoint. The problem has two constant equilibria, called the trivial ones, inducing two curves, called trivial branches, and containing the trivial equilibrium solutions. The main aim of this dissertation is to study the bifurcation and stability structures of equilibria, which are completely established and also expressed through diagrams. Furthermore, to establish the behaviour of the only nontrivial equilibrium the problem has for each value of the parameter. A key ingredient in the analysis is the average of the weight function. Indeed, if the weight has nonzero average a global curve consisting of nontrivial exponentially stable equilibria bifurcates from a trivial branch − which is determined according to the sign of the average. But if the parameter is sufficiently small the problem admits the two trivial equilibria as the only equilibrium solutions, one of them exponentially stable and the other unstable. When the weight function has zero average a new curve has now a central role: from such curve bifurcates a global curve defined for all values of the parameter and consisting of nontrivial exponentially stable equilibria. Further, there is no bifurcation from the trivial branches, that ones containing unstable equilibria. Finally, the behaviour of the global bifurcation branch is also established as the parameter is large. Actually, that is achieved as long as one proves the only nontrivial equilibrium concentrates in a region where the weight function has a definite sign, as the parameter is large. |
id |
SCAR_52a232155ea8243a451e365136a0678a |
---|---|
oai_identifier_str |
oai:repositorio.ufscar.br:ufscar/5914 |
network_acronym_str |
SCAR |
network_name_str |
Repositório Institucional da UFSCAR |
repository_id_str |
4322 |
spelling |
Luna, Tito Luciano MamaniMadeira, Gustavo Ferronhttp://genos.cnpq.br:12010/dwlattes/owa/prc_imp_cv_int?f_cod=K4762374Y0http://lattes.cnpq.br/928634229440016894bcc49c-60ba-4ee9-9483-9c4530ee35252016-06-02T20:28:31Z2015-05-112016-06-02T20:28:31Z2015-03-30LUNA, Tito Luciano Mamani. Bifurcação e estabilidade de equilíbrios de um problema de Neumann parabólico com peso indefinido em genética populacional. 2015. 85 f. Dissertação (Mestrado em Ciências Exatas e da Terra) - Universidade Federal de São Carlos, São Carlos, 2015.https://repositorio.ufscar.br/handle/ufscar/5914This work is concerned with a semilinear parabolic partial differential equation under a homogeneous Neumann boundary condition occuring in population genetics. It describes the evolution of gene frequencies under selection and migration effects in a bounded domain. In the nonlinear term appearing in the equation, which is of logistic type, one has a positive parameter and an indefinite sign weight function. Considering a suitable phase space one obtains a nonlinear dynamical system, actually a gradient system, in a such way that the equilibrium solutions, or stationary solutions, play a fundamental role in the dynamics viewpoint. The problem has two constant equilibria, called the trivial ones, inducing two curves, called trivial branches, and containing the trivial equilibrium solutions. The main aim of this dissertation is to study the bifurcation and stability structures of equilibria, which are completely established and also expressed through diagrams. Furthermore, to establish the behaviour of the only nontrivial equilibrium the problem has for each value of the parameter. A key ingredient in the analysis is the average of the weight function. Indeed, if the weight has nonzero average a global curve consisting of nontrivial exponentially stable equilibria bifurcates from a trivial branch − which is determined according to the sign of the average. But if the parameter is sufficiently small the problem admits the two trivial equilibria as the only equilibrium solutions, one of them exponentially stable and the other unstable. When the weight function has zero average a new curve has now a central role: from such curve bifurcates a global curve defined for all values of the parameter and consisting of nontrivial exponentially stable equilibria. Further, there is no bifurcation from the trivial branches, that ones containing unstable equilibria. Finally, the behaviour of the global bifurcation branch is also established as the parameter is large. Actually, that is achieved as long as one proves the only nontrivial equilibrium concentrates in a region where the weight function has a definite sign, as the parameter is large.Neste trabalho estuda-se uma equação diferencial parcial parabólica semilinear com condição de fronteira de Neumann homogênea que surge em genética populacional, a qual descreve a evolução de frequências de genes sob a ação conjunta de migração e seleção numa regi ao limitada. No termo não-linear que aparece na equação, de tipo logístico, tem-se um parâmetro positivo e uma função peso de sinal indefinido. Considerando-se um espaço de fase adequado ao problema, determina-se um sistema dinâmico não-linear e gradiente, de forma que os equilíbrios, ou soluções estacionárias, desempenham um papel fundamental no que concerne a dinâmica. Há dois equilíbrios constantes, chamados triviais, que dão origem a duas curvas, chamadas ramos triviais, contendo os equilíbrios triviais. O objetivo principal desta dissertação é estudar as estruturas de bifurcação e estabilidade de todos os equilíbrios, as quais são completamente determinadas e expressas através de diagramas, além de determinar o comportamento do único equilíbrio não-trivial que o problema possui para cada valor do parâmetro. Elemento decisivo na análise é a média da função peso do termo não-linear. De fato, em caso de média não nula bifurca de ramo trivial − que é determinado pelo sinal da m´edia − uma curva global constituída de equilíbrios não-triviais exponencialmente estáveis, enquanto os únicos equilíbrios que podem existir quando o parâmetro é pequeno são os triviais, sendo um exponencialmente estável e outro instável. Quando a média da função peso é zero uma nova curva passa a ter papel central: dela bifurca uma curva global, definida para cada valor do parâmetro, constituída de equilíbrios não triviais exponencialmente estáveis e não há bifurcação dos ramos triviais, estes contendo então equilíbrios instáveis. Finalmente, é determinado o comportamento do ramo de bifurcação global quando o parâmetro é grande ao estabelecer-se que o único equilíbrio não trivial do problema tende a concentra-se numa região em que o peso tem sinal definido.Financiadora de Estudos e Projetosapplication/pdfporUniversidade Federal de São CarlosPrograma de Pós-Graduação em Matemática - PPGMUFSCarBREquações diferenciais parciaisEstabilidade de equilíbriosBifurcação de equilíbriosCIENCIAS EXATAS E DA TERRA::MATEMATICABifurcação e estabilidade de equilíbrios de um problema de Neumann parabólico com peso indefinido em genética populacionalinfo:eu-repo/semantics/publishedVersioninfo:eu-repo/semantics/masterThesis-1-1753503ae-4b5a-40ae-9c1c-00fafc513a72info:eu-repo/semantics/openAccessreponame:Repositório Institucional da UFSCARinstname:Universidade Federal de São Carlos (UFSCAR)instacron:UFSCARORIGINAL6744.pdfapplication/pdf408284https://repositorio.ufscar.br/bitstream/ufscar/5914/1/6744.pdf6b14e48c8855df35514f1937407bb396MD51TEXT6744.pdf.txt6744.pdf.txtExtracted texttext/plain0https://repositorio.ufscar.br/bitstream/ufscar/5914/2/6744.pdf.txtd41d8cd98f00b204e9800998ecf8427eMD52THUMBNAIL6744.pdf.jpg6744.pdf.jpgIM Thumbnailimage/jpeg6784https://repositorio.ufscar.br/bitstream/ufscar/5914/3/6744.pdf.jpg264adfb93d04c70d09d5492a61a14e8bMD53ufscar/59142023-09-18 18:31:37.166oai:repositorio.ufscar.br:ufscar/5914Repositório InstitucionalPUBhttps://repositorio.ufscar.br/oai/requestopendoar:43222023-09-18T18:31:37Repositório Institucional da UFSCAR - Universidade Federal de São Carlos (UFSCAR)false |
dc.title.por.fl_str_mv |
Bifurcação e estabilidade de equilíbrios de um problema de Neumann parabólico com peso indefinido em genética populacional |
title |
Bifurcação e estabilidade de equilíbrios de um problema de Neumann parabólico com peso indefinido em genética populacional |
spellingShingle |
Bifurcação e estabilidade de equilíbrios de um problema de Neumann parabólico com peso indefinido em genética populacional Luna, Tito Luciano Mamani Equações diferenciais parciais Estabilidade de equilíbrios Bifurcação de equilíbrios CIENCIAS EXATAS E DA TERRA::MATEMATICA |
title_short |
Bifurcação e estabilidade de equilíbrios de um problema de Neumann parabólico com peso indefinido em genética populacional |
title_full |
Bifurcação e estabilidade de equilíbrios de um problema de Neumann parabólico com peso indefinido em genética populacional |
title_fullStr |
Bifurcação e estabilidade de equilíbrios de um problema de Neumann parabólico com peso indefinido em genética populacional |
title_full_unstemmed |
Bifurcação e estabilidade de equilíbrios de um problema de Neumann parabólico com peso indefinido em genética populacional |
title_sort |
Bifurcação e estabilidade de equilíbrios de um problema de Neumann parabólico com peso indefinido em genética populacional |
author |
Luna, Tito Luciano Mamani |
author_facet |
Luna, Tito Luciano Mamani |
author_role |
author |
dc.contributor.authorlattes.por.fl_str_mv |
http://lattes.cnpq.br/9286342294400168 |
dc.contributor.author.fl_str_mv |
Luna, Tito Luciano Mamani |
dc.contributor.advisor1.fl_str_mv |
Madeira, Gustavo Ferron |
dc.contributor.advisor1Lattes.fl_str_mv |
http://genos.cnpq.br:12010/dwlattes/owa/prc_imp_cv_int?f_cod=K4762374Y0 |
dc.contributor.authorID.fl_str_mv |
94bcc49c-60ba-4ee9-9483-9c4530ee3525 |
contributor_str_mv |
Madeira, Gustavo Ferron |
dc.subject.por.fl_str_mv |
Equações diferenciais parciais Estabilidade de equilíbrios Bifurcação de equilíbrios |
topic |
Equações diferenciais parciais Estabilidade de equilíbrios Bifurcação de equilíbrios CIENCIAS EXATAS E DA TERRA::MATEMATICA |
dc.subject.cnpq.fl_str_mv |
CIENCIAS EXATAS E DA TERRA::MATEMATICA |
description |
This work is concerned with a semilinear parabolic partial differential equation under a homogeneous Neumann boundary condition occuring in population genetics. It describes the evolution of gene frequencies under selection and migration effects in a bounded domain. In the nonlinear term appearing in the equation, which is of logistic type, one has a positive parameter and an indefinite sign weight function. Considering a suitable phase space one obtains a nonlinear dynamical system, actually a gradient system, in a such way that the equilibrium solutions, or stationary solutions, play a fundamental role in the dynamics viewpoint. The problem has two constant equilibria, called the trivial ones, inducing two curves, called trivial branches, and containing the trivial equilibrium solutions. The main aim of this dissertation is to study the bifurcation and stability structures of equilibria, which are completely established and also expressed through diagrams. Furthermore, to establish the behaviour of the only nontrivial equilibrium the problem has for each value of the parameter. A key ingredient in the analysis is the average of the weight function. Indeed, if the weight has nonzero average a global curve consisting of nontrivial exponentially stable equilibria bifurcates from a trivial branch − which is determined according to the sign of the average. But if the parameter is sufficiently small the problem admits the two trivial equilibria as the only equilibrium solutions, one of them exponentially stable and the other unstable. When the weight function has zero average a new curve has now a central role: from such curve bifurcates a global curve defined for all values of the parameter and consisting of nontrivial exponentially stable equilibria. Further, there is no bifurcation from the trivial branches, that ones containing unstable equilibria. Finally, the behaviour of the global bifurcation branch is also established as the parameter is large. Actually, that is achieved as long as one proves the only nontrivial equilibrium concentrates in a region where the weight function has a definite sign, as the parameter is large. |
publishDate |
2015 |
dc.date.available.fl_str_mv |
2015-05-11 2016-06-02T20:28:31Z |
dc.date.issued.fl_str_mv |
2015-03-30 |
dc.date.accessioned.fl_str_mv |
2016-06-02T20:28:31Z |
dc.type.status.fl_str_mv |
info:eu-repo/semantics/publishedVersion |
dc.type.driver.fl_str_mv |
info:eu-repo/semantics/masterThesis |
format |
masterThesis |
status_str |
publishedVersion |
dc.identifier.citation.fl_str_mv |
LUNA, Tito Luciano Mamani. Bifurcação e estabilidade de equilíbrios de um problema de Neumann parabólico com peso indefinido em genética populacional. 2015. 85 f. Dissertação (Mestrado em Ciências Exatas e da Terra) - Universidade Federal de São Carlos, São Carlos, 2015. |
dc.identifier.uri.fl_str_mv |
https://repositorio.ufscar.br/handle/ufscar/5914 |
identifier_str_mv |
LUNA, Tito Luciano Mamani. Bifurcação e estabilidade de equilíbrios de um problema de Neumann parabólico com peso indefinido em genética populacional. 2015. 85 f. Dissertação (Mestrado em Ciências Exatas e da Terra) - Universidade Federal de São Carlos, São Carlos, 2015. |
url |
https://repositorio.ufscar.br/handle/ufscar/5914 |
dc.language.iso.fl_str_mv |
por |
language |
por |
dc.relation.confidence.fl_str_mv |
-1 -1 |
dc.relation.authority.fl_str_mv |
753503ae-4b5a-40ae-9c1c-00fafc513a72 |
dc.rights.driver.fl_str_mv |
info:eu-repo/semantics/openAccess |
eu_rights_str_mv |
openAccess |
dc.format.none.fl_str_mv |
application/pdf |
dc.publisher.none.fl_str_mv |
Universidade Federal de São Carlos |
dc.publisher.program.fl_str_mv |
Programa de Pós-Graduação em Matemática - PPGM |
dc.publisher.initials.fl_str_mv |
UFSCar |
dc.publisher.country.fl_str_mv |
BR |
publisher.none.fl_str_mv |
Universidade Federal de São Carlos |
dc.source.none.fl_str_mv |
reponame:Repositório Institucional da UFSCAR instname:Universidade Federal de São Carlos (UFSCAR) instacron:UFSCAR |
instname_str |
Universidade Federal de São Carlos (UFSCAR) |
instacron_str |
UFSCAR |
institution |
UFSCAR |
reponame_str |
Repositório Institucional da UFSCAR |
collection |
Repositório Institucional da UFSCAR |
bitstream.url.fl_str_mv |
https://repositorio.ufscar.br/bitstream/ufscar/5914/1/6744.pdf https://repositorio.ufscar.br/bitstream/ufscar/5914/2/6744.pdf.txt https://repositorio.ufscar.br/bitstream/ufscar/5914/3/6744.pdf.jpg |
bitstream.checksum.fl_str_mv |
6b14e48c8855df35514f1937407bb396 d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e 264adfb93d04c70d09d5492a61a14e8b |
bitstream.checksumAlgorithm.fl_str_mv |
MD5 MD5 MD5 |
repository.name.fl_str_mv |
Repositório Institucional da UFSCAR - Universidade Federal de São Carlos (UFSCAR) |
repository.mail.fl_str_mv |
|
_version_ |
1802136289436237824 |