O teorema da Matriz-Árvore e aplicações

• Autor(a) principal: Moura Junior, Robson Carlos de
• Data de Publicação: 2019
• Tipo de documento: Trabalho de conclusão de curso
• Idioma: por
• Título da fonte: Repositório Institucional da Universidade Federal Fluminense (RIUFF)
• Texto Completo: https://app.uff.br/riuff/handle/1/22770
• topic: Teorema da Matriz-Árvore; Árvores geradoras; Grafos matrogênicos; Teoria dos números algébricos; Grafo; Matrix-Tree Theorem; Spanning trees; Matrogenic graphs

O Teorema da Matriz-Árvore é um dos teoremas clássicos da Teoria Algébrica de Grafos. Este provê um método de contagem das árvores geradoras de um grafo conexo em termo dos autovalores ou determinantes de matrizes associadas a tais grafos. O teorema foi provado pela primeira vez em 1847, pelo físico alemão Gustav Kirchhof em seu estudo sobre redes elétricas, e demonstra uma relação entre árvores geradoras e matrizes. Várias provas diferentes, generalizações e também algumas aplicações são conhecidas, como a Fórmula de Cayley, que nos diz que o número de árvores geradoras de um grafo completo Kn é dado por nn−2. Nosso objetivo é entender o Teorema da Matriz-Árvore na visão da Teoria Espectral de Grafos, esta que estuda o espectro de algumas matrizes associadas a tais grafos a fim de obter propriedades sobre estes. Finalmente, aplicaremos o Teorema da Matriz-Árvore em algumas classes de grafos, em especial, a classe dos grafos matrogênicos.