Controlabilidade nula e aproximada para uma equação parabólica não linear
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Data de Publicação: | 2018 |
Tipo de documento: | Dissertação |
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Título da fonte: | Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da UFMA |
Texto Completo: | https://tedebc.ufma.br/jspui/handle/tede/tede/2233 |
Resumo: | The Mathematical control theory is an area of applied mathematics that deals with the analysis of Partial Differential Equations (EDPs) or Ordinary Differential Equations (ODE) control systems. This theory had a great development with the works of Russel, J. Lions, O.Yu. Imanuvilov, A. V. Fursikov, E. Zuazua, among others. In this work we will study the null and approximate controllability of a parabolic equation: the nonlinear heat equation. Our proof is based on the fact that non-linearity is globally Lipschitz. Thus, we will demonstrate the existence of a control u in a space with weight that, when acting in the domain, leads the system to the state of equilibrium. We show that null controllability can be obtained through Carleman’s inequality, inequality of observability and using the arguments of the fixed-point theorem for a multi-value application. In the case of approximate controllability, using Carleman’s inequality, we show that the set of admissible states RL(T) is dense in L 2 (Ω). |
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In this work we will study the null and approximate controllability of a parabolic equation: the nonlinear heat equation. Our proof is based on the fact that non-linearity is globally Lipschitz. Thus, we will demonstrate the existence of a control u in a space with weight that, when acting in the domain, leads the system to the state of equilibrium. We show that null controllability can be obtained through Carleman’s inequality, inequality of observability and using the arguments of the fixed-point theorem for a multi-value application. In the case of approximate controllability, using Carleman’s inequality, we show that the set of admissible states RL(T) is dense in L 2 (Ω).A teoria de controle matemático é uma área da matemática aplicada que se ocupa da análise de sistemas de controle de Equações Diferenciais Parciais (EDPs) ou de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). Essa teoria teve um grande desenvolvimento com os trabalhos de Russel, J. L. Lions, O.Yu. Imanuvilov, A. V. Fursikov, E. Zuazua, dentre outros. Controlar um sistema significa infuenciar seu comportamento de modo a alcançar o objetivo desejado. Neste trabalho estudaremos a controlabilidade nula e aproximada de uma equação parabólica: a equação não linear do calor. Nossa prova baseia-se no fato de que a não linearidade é globalmente Lipschitz . Assim, demonstraremos a existência de um controle u em um espaço com peso que ao atuar no domínio, conduz o sistema ao estado de equilíbrio. Mostramos que a controlabilidade nula pode ser feita através de um problema de minimização de um funcional. Para obter a controlabilidade nula usamos um método baseado na obtenção de uma desigualdade de Carleman que resulta em uma desigualdade de observabilidade e utilizamos também o método do ponto fixo de Kakutani para uma aplicação de múltiplos valores. No caso da controlabilidade aproximada, utilizando a desigualdade de Carleman, mostraremos que o conjunto de estados admissíveis RL(T) é denso em L2(Ω).Submitted by Rosivalda Pereira (mrs.pereira@ufma.br) on 2018-05-16T21:17:51Z No. of bitstreams: 1 CarlaSantos.pdf: 932433 bytes, checksum: bd3f8cc201abc6de3f7a01de01cd2191 (MD5)Made available in DSpace on 2018-05-16T21:17:51Z (GMT). No. of bitstreams: 1 CarlaSantos.pdf: 932433 bytes, checksum: bd3f8cc201abc6de3f7a01de01cd2191 (MD5) Previous issue date: 2018-04-23application/pdfporUniversidade Federal do MaranhãoPROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA/CCETUFMABrasilDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA/CCETControlabilidadeDesigualdade de CarlemanDesigualdade de ObservabilidadeControllabilityCarleman inequalitynequality of observabilityMatemáticaControlabilidade nula e aproximada para uma equação parabólica não linearNull and approximate controllability for a non-linear parabolic equationinfo:eu-repo/semantics/publishedVersioninfo:eu-repo/semantics/masterThesisinfo:eu-repo/semantics/openAccessreponame:Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da UFMAinstname:Universidade Federal do Maranhão (UFMA)instacron:UFMAORIGINALCarlaSantos.pdfCarlaSantos.pdfapplication/pdf932433http://tedebc.ufma.br:8080/bitstream/tede/2233/2/CarlaSantos.pdfbd3f8cc201abc6de3f7a01de01cd2191MD52LICENSElicense.txtlicense.txttext/plain; charset=utf-82255http://tedebc.ufma.br:8080/bitstream/tede/2233/1/license.txt97eeade1fce43278e63fe063657f8083MD51tede/22332018-05-16 18:17:51.117oai:tede2: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Biblioteca Digital de Teses e Dissertaçõeshttps://tedebc.ufma.br/jspui/PUBhttp://tedebc.ufma.br:8080/oai/requestrepositorio@ufma.br||repositorio@ufma.bropendoar:21312018-05-16T21:17:51Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da UFMA - Universidade Federal do Maranhão (UFMA)false |
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