Problema inverso de Galois: da irredutibilidade de Hilbert ao método de rigidez

• Autor(a) principal: Mendonça, João Ricardo Anjos de Sousa Galego
• Data de Publicação: 2021
• Tipo de documento: Dissertação
• Idioma: por
• Título da fonte: Repositório Científico de Acesso Aberto de Portugal (Repositórios Cientìficos)
• Texto Completo: http://hdl.handle.net/10773/32735
• topic: Problema inverso de Galois; Grupo de Galois; Extensão de corpos; Polin omios; Irredutibilidade de Hilbert; Método da Rigidez

Seja E : K uma extensão de um corpo arbitrário K. Segundo a Teoria dos Corpos e Teoria Clássica de Galois, se E : K for uma extensão de Galois, podemos chegar ao grupo (fiito) de automorfismos de E que fixam os elementos de K e trocam os elementos de E nK, o dito grupo de Galois da extensão, GalK(E). No entanto, podemos pensar no Problema Inverso: “Será que todo o grupo finito é isomorfo a um grupo de Galois relativo a uma extensão sobre um corpo arbitrário?". Existem certos casos em que a resposta a esta pergunta é afirmativa (C(t), R(t) e Q(t) - quando t é um elemento transcendente [uma variável]). Porém, ainda não se conseguiu provar que tal acontece para todos os grupos finitos sobre o corpo dos número racionais, Q (Problema Inverso Clássico), ou sobre o corpo das funções racionais em t com coeficientes racionais, Q(t) (Problema Inverso Regular). Neste texto, vamos começar por introduzir alguns conceitos e resultados relativos _a Teoria dos Corpos e á Teoria Clássica de Galois. Posteriormente, vamos seguir as passadas de Hilbert e garantir que os grupos simétricos e alternantes são realizáveis como grupos de Galois sobre Q. Por _ultimo, misturamos a Teoria dos Grupos com alguma Topologia e vamos verificar que existem mais grupos finitos que são solução do Problema Clássico e do Problema Regular. Em particular, abordaremos o caso dos grupos abelianos e alguns casos dos grupos esporádicos. Para fazer um ponto de comparação com o método de Hilbert (e apenas para isso), vamos voltar a analisar o caso dos grupos simétricos e alternantes.