Estabilidade de difeomorfismos do círculo: uma introdução à dinâmica discreta

• Autor(a) principal: Costa Júnior, Benjamim Pereira da
• Data de Publicação: 2017
• Tipo de documento: Trabalho de conclusão de curso
• Idioma: por
• Título da fonte: Repositório Institucional da UFBA
• Texto Completo: http://repositorio.ufba.br/ri/handle/ri/24909
• topic: Sistemas Dinâmicos; Ponto hiperbólico; Difeomorfismo Morse-Smale; Estabilidade estrutural

Neste trabalho, fazemos um passeio por alguns conceitos da área de Sistemas Dinâmicos a partir de espaços unidimensionais, em especial o círculo. A principal noção desenvolvida é a de estabilidade, mas outras também são abordadas, como hiperbolicidade, transitividade topológica e minimalidade. O texto possui um caráter de iniciação ao campo de estudos dos sistemas dinâmicos discretos. Começa por desenvolver os conceitos mais simples de dinâmica discreta, como os de órbita periódica e convergência passada e futura. Uma nova maneira de ver o círculo é apresentada, fazendo a identificação com o intervalo [0, 1]. Provamos alguns resultados bem conhecidos, como o de que em rotações racionais todos os pontos são periódicos, já rotações irracionais são minimais. Abordamos o conceito de diferenciabilidade de funções do círculo a partir do que chamamos de levantamentos, em seguida definimos número de rotação. Depois de feita a iniciação ao assunto, começamos a trabalhar com o conceito de ponto hiperbólico. Mostramos as propriedades de atração e repulsão que possuem os pontos hiperbólicos tanto fixos quando periódicos. Em seguida definimos o que são difeomorfismos Morse-Smale, que possuem um papel central neste trabalho. Exemplos de difeomorfismos Morse-Smale são expostos com detalhes. Por último, estabelecemos a noção de estabilidade estrutural e mostramos que difeomorfismos Morse-Smale são estruturalmente estáveis.