Introdução às teorias KAM e KAM-fraca

• Autor(a) principal: Rodrigues, Júlio Cesar
• Data de Publicação: 2022
• Tipo de documento: Trabalho de conclusão de curso
• Idioma: por
• Título da fonte: Repositório Institucional da UFRGS
• Texto Completo: http://hdl.handle.net/10183/255224
• topic: Mecânica lagrangiana; Mecânica hamiltoniana; Teoria de perturbacao; Teorema KAM

Ao longo deste trabalho, introduzimos a Teoria de Kolmogorov-Arnold-Moser e um de seus desenvolvimentos subsequentes, a chamada Teoria KAM-fraca. Em um primeiro momento, apresentamos os fundamentos da mecânica Lagrangiana e Hamiltoniana, desde as definições básicas até a Teoria de Hamilton-Jacobi e as variáveis de ação-ângulo, úteis para o estudo de sistema periódicos. Após isso, apresentamos o Teorema de Liouville de preservação de volume e o Teorema de Liouville-Arnold-Jost que serve como uma caracterização de sistemas integráveis. Em seguida, introduzimos a teoria de perturbação, examinando o problema dos pequenos divisores e sua íntima relação com o Teorema KAM, que é enunciado após o problema de Siegel de convergência de séries de Fourier. Ao final, é feita uma exposição da Teoria KAM-fraca, iniciando com os conceitos de valores críticos para o Hamiltoniano e os operadores do semigrupo de Lax-Oleinik. Uma atenção especial deve ser dada ao Teorema KAM-fraco, com o qual as seções seguintes são ligadas. Nestas, apresentamos a definição de barreira de Peierls e de conjuntos de Aubry, além de alguns resultados sobre a regularidade de soluções KAM-fracas.