Um algoritmo exato para um problema de Galeria de Arte

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Main Author: Couto, Marcelo Castilho
Publication Date: 2010
Format: Master thesis
Language: por
Source: Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP)
Download full: https://hdl.handle.net/20.500.12733/1613664
Summary: Orientadores: Cid Carvalho de Souza, Pedro Jussieu de Rezende
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spelling Um algoritmo exato para um problema de Galeria de ArteAn exact algorithm for an Art Gallery problemGeometria combinatóriaOtimização combinatóriaProgramação inteiraAlgorítimosCombinatorial geometryCombinatorial optimizationInteger programmingAlgorithmsOrientadores: Cid Carvalho de Souza, Pedro Jussieu de RezendeDissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de ComputaçãoResumo: Nesta dissertação, faz-se um amplo estudo multidisciplinar sobre duas variantes de um problema geométrico NP-DIFÍCIL, o Problema da Galeria de Arte, que é analisado tanto pela ótica geométrica quanto combinatória. O objetivo consiste em minimizar o número de guardas suficientes para cobrir todo o interior de uma galeria de arte, representada por um polígono simples. Dentre as muitas variantes desse problema, o foco foi dado àquela onde os guardas são estacionários e restritos aos vértices do polígono, ortogonal ou simples, sem obstáculos. Propõe-se neste trabalho um algoritmo iterativo exato que é capaz de resolver ambas as variantes do problema. Nesse algoritmo, o problema original é discretizado, reduzido a um problema combinatório, o Problema da Cobertura de Conjuntos, e modelado por programação linear inteira. A redução entre os problemas que assegura a corretude do algoritmo e as provas de exatidão e convergência para uma solução ótima do problema original são detalhadas. Apresenta-se também uma extensa experimentação de uma implementação desse algoritmo com o intuito de validar seu uso prático e analisar as várias estratégias propostas aqui para a discretização inicial da galeria. São dados resultados para instâncias com até 2500 vértices, mais de dez vezes o tamanho das maiores instâncias resolvidas exatamente na literatura pré-existente. Mostra-se que o número de iterações executadas pelo algoritmo está extremamente relacionada com o modo como a galeria é inicialmente discretizada. Considerando a estratégia de discretização com o melhor desempenho geral, tem-se que, na prática, o algoritmo converge para uma solução ótima para o problema original em um baixo tempo computacional e em um número de iterações que é ordens de grandeza aquém do limite teórico resultante da análise de pior casoAbstract: In this dissertation, a broad multidisciplinary study is done on two variants of a geometrical NP-HARD problem, the Art Gallery Problem, which is approached both from geometrical and combinatorics perspectives. The goal is to minimize the number of guards sufficient to cover the interior of an art gallery whose boundary is represented by a simple polygon. Among the many variants of the problem, the focus was on one where the guards are stationary and are restricted to vertices of the polygon, orthogonal or simple, without holes. We propose an iterative exact algorithm to solve both variants of the problem. In this algorithm, the original problem is discretized, reduced to a combinatorial problem, the Set Cover Problem, and modeled as an integer linear program. The reduction between the problems, which ensures the correctness of the algorithm, and the proofs of its exactness and convergence to an optimal solution are detailed. We also present an extensive experimentation of an implementation of this algorithm in order to validate its practical use and analyze the various strategies proposed here for the initial discretization of the gallery. Results are given for instances with up to 2500 vertices, more than ten times the size of the largest instances solved to optimality in prior literature. It is shown that the number of iterations performed by the algorithm is highly related to how the gallery is initially discretized. Considering the discretization strategy with the best performance in practice, the algorithm converges to an optimal solution for the original problem in a low computation time and in a number of iterations that is orders of magnitude below the theoretical bound arising from the worst case analysisMestradoGeometria Computacional e Otimização CombinatóriaMestre em Ciência da Computação[s.n.]Souza, Cid Carvalho de, 1963-Rezende, Pedro Jussieu de, 1955-Pina Junior, José Coelho deXavier, Eduardo CandidoUniversidade Estadual de Campinas. Instituto de ComputaçãoPrograma de Pós-Graduação em Ciência da ComputaçãoUNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINASCouto, Marcelo Castilho2010info:eu-repo/semantics/publishedVersioninfo:eu-repo/semantics/masterThesisapplication/pdf159 p. : il.https://hdl.handle.net/20.500.12733/1613664COUTO, Marcelo Castilho. Um algoritmo exato para um problema de Galeria de Arte. 2010. 159 p. Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Computação, Campinas, SP. Disponível em: https://hdl.handle.net/20.500.12733/1613664. Acesso em: 15 mai. 2024.https://repositorio.unicamp.br/acervo/detalhe/779213porreponame:Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP)instname:Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP)instacron:UNICAMPinfo:eu-repo/semantics/openAccess2017-02-18T06:04:08Zoai::779213Biblioteca Digital de Teses e DissertaçõesPUBhttp://repositorio.unicamp.br/oai/tese/oai.aspsbubd@unicamp.bropendoar:2017-02-18T06:04:08Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP) - Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP)false
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