Semiclassical limit of the EPRL spin foam model

Detalhes bibliográficos
Autor(a) principal: Marques, Miguel João de Lopes
Data de Publicação: 2018
Tipo de documento: Dissertação
Idioma: eng
Título da fonte: Repositório Científico de Acesso Aberto de Portugal (Repositórios Cientìficos)
Texto Completo: http://hdl.handle.net/10451/35530
Resumo: Tese de mestrado, Física (Astrofísica e Cosmologia) Universidade de Lisboa, Faculdade de Ciências, 2018
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spelling Semiclassical limit of the EPRL spin foam modelEspuma de spinLimite semiclássicoModelo EPRLAcção efectivaCálculo de ReggeTeses de mestrado - 2018Departamento de FísicaTese de mestrado, Física (Astrofísica e Cosmologia) Universidade de Lisboa, Faculdade de Ciências, 2018One of the pressing issues of present-day theoretical physics is the need for the quantisation of gravity. Although Einstein’s theory of general relativity (GR) has experienced tremendous success as a classical theory of gravity, it faces a number of problems, including the existence of singularities in high-curvature regimes, such as the centre of a black hole or the Big Bang. In such scenarios, quantum effects of thegeometry of spacetime are posited to play an important role, thus begging the formulation of a theoryof quantum gravity. Such an endeavour naturally leads to several different approaches, which generallytake the main assumptions from either quantum field theory or general relativity and attempt to accountfor the other a posteriori.In this dissertation, we opt for the use of general relativity as a starting point for quantising gravity andpresent the background independent non-perturbative canonical quantisation approach known as “loopquantum gravity”. From this theory, it is possible to construct objects known as “spin foams”, which allowus to explore its dynamics from a covariant perspective. More specifically, the spin foam quantization ofgeneral relativity is a path integral quantization based on the loop quantum gravity approach, where the gravitational field is described by “spin networks”. These spin networks can be understood as Wilson loop variables for the Ashtekar formulation of GR. Within the Engle-Pereira-Rovelli-Livine (EPRL) spin foam model, the transition amplitudes are constructed by using the topological gravity theory based on the BF theory for the Lorentz group and the constraints which define GR are then imposed on them. Consistency of any quantum gravity theory requires its correspondence to general relativity in the low-energy scale and this prompts us to analyse the semiclassical limit of the aforementioned EPRL model. The study of such a limit is performed through the use of the effective action approach from background field method of quantum field theory, which yields a generalisation of GR — in the sense that it allows non-metric geometries — as the semiclassical limit of the EPRL model. In other words, the leading term of the one-loop effective action of the EPRL model corresponds to the area-Regge action, which is based on the Regge action discretising gravity. Finally, after presenting the review described above, we discuss a version of Regge calculus which takes triangle areas and 3d angles as variables, define a new convergent state sum from it and extend the theory in order to include a particular type of Lorentzian triangulation.A teoria da relatividade geral de Einstein é a teoria gravitacional mais bem-sucedida. No entanto, é também uma teoria incompleta, uma vez que contém regimes em que diverge para o infinito e se torna incapaz de efectuar qualquer previsão. Tais regimes são referidos como “singularidades” e ocorrem em cenários de alta curvatura, tal como no centro de buracos negros e no “Big Bang”. Assim sendo, é necessário modificar esta teoria de forma a evitar singularidades. A principal solução proposta na literatura é a quantização da gravidade, uma vez que se supõe que no contexto referido as fluctuações quânticas da geometria desempenhem um papel importante na acção gravítica. Esta solução provém de uma longa história de quantizações de teorias clássicas que continham divergências ultravioletas. À semelhança de tais teorias — como por exemplo o modelo do átomo de hidrogénio —, espera-se que os problemas enfrentados pela relatividade geral sejam eliminados. Por outro lado, uma teoria de gravitação quântica aproximar-nos-ia de uma unificação das quatro forças fundamentais numa só “teoria de tudo”. Relativamente à unificação da mecânica quântica com a relatividade geral, existem duas abordagens principais: a primeira adopta os pressupostos da mecânica quântica e tenta incluir a relatividade geral a posteriori, enquanto que a segunda faz o inverso. As teorias mais bem-sucedidas dentro de cada abordagem são, respectivamente, a teoria de cordas e a teoria de gravidade quântica em laços. Nesta dissertação defendemos a segunda, dada a sua natureza independente do fundo — isto é, independente da escolha de uma métrica de fundo — e não-perturbativa. De facto, é argumentado que, num regime de alta curvatura, o método perturbativo não é aconselhável, uma vez que existem várias possibilidades de escolha para o par fundo-perturbação da métrica, o que leva ao surgimento de múltiplos cones de luz, que por sua vez levam a relações de causalidade distintas e incompatíveis. A teoria de gravidade quântica em laços é uma teoria quântica da geometria do espaço-tempo que consiste na quantização canónica (ou Hamiltoniana) da relatividade geral, originando uma teoria de gauge SU(2), semelhante à de Yang-Mills. Contudo, embora a gravidade quântica em laços tenha tido muito sucesso — como por exemplo a concordância com a relatividade geral no limite clássico — e faça previsões únicas — como a discretização do espaço-tempo à escala de Planck e a possível resolução de singularidades, como por exemplo a substituição do “Big Bang” pelo “Big Bounce” —, a mesma sofre de alguns problemas, como a definição da dinâmica quântica no contexto referido. A solução estudada para o problema da dinâmica envolve o uso de espumas de spin, que podem ser vistas como uma formulação de integral de caminho da gravidade quântica em laços. As espumas de spin são também uma “história quântica” das redes de spin, que por sua vez são as configurações permitidas para as excitações do campo. Em geral, os modelos de espumas de spin para a relatividade geral em quatro dimensões começam por discretizar a relatividade geral, depois quantizam a parte BF topológica da nova teoria discreta e finalmente impõem os constrangimentos simpliciais ao nível quântico. No caso do conhecido modelo Barrett-Crane, a quantização é efectuada na acção SO(4) simplicial de Plebanski. Contudo, os constrangimentos de Plebanski — que reduzem a teoria de BF à relatividade geral — são impostos fortemente, o que leva a condições adicionais desnecessárias. O modelo EPRL, por sua vez, é uma modificação do modelo Barrett-Crane, que discretiza a relatividade geral, quantiza a mesma e finalmente impõe e relaxa os constrangimentos de Plebanski. Este último passo diferencia este modelo do anterior e resolve muitos dos problemas enfrentados pelo mesmo. Em relação ao primeiro passo, a discretização é feita recorrendo ao uso de uma triangulação em 4d que é dual ao complexo representado pela espuma de spin e onde spins inteiros são atribuídos a faces e um elemento da base do espaço de “intertwiners” a cada aresta. Consequentemente, obtemos o espaço de redes de spin da gravidade quântica em laços SO(3) Hamiltoniana como espaço de estados da teoria, assim como uma amplitude de vértice covariante sob SO(3) e SO(4). Uma vez que a consistência de qualquer modelo de gravidade quântica está intimamente ligada à convergência da mesma para a relatividade geral, no limite clássico, é importante certificarmo-nos de que o modelo EPRL se reduz à (ou converge para a) teoria de Einstein no limite de baixas energias. Para o efeito, usamos o método da acção efectiva, proveniente do método de campo de fundo da teoria quântica de campo. Este método consiste em aplicar a fórmula da acção efectiva aos modelos de espuma de spin e somar as fluctuações em volta de uma configuração clássica. A acção efectiva permite-nos obter o limite semiclássico de qualquer modelo de espuma de spin e pode ser aplicada a qualquer modelo de soma de estados de gravidade quântica. No caso do modelo de EPRL, é necessário modificar a amplitude do vértice de forma a obter o limite semiclássico correcto, ou seja, uma generalização da teoria da relatividade geral — no sentido em que permite geometrias não-métricas. A modificação necessária envolve a divisão da amplitude (mencionada acima) pelo produto de uma função homogénea de ordem 12 do spin e da soma das dimensões do spin elevadas a um número positivo e suficientemente grande. Desta forma, a soma de estados do modelo torna-se finita e converge para o limite supramencionado, ou seja, a acção área- Regge. Por outras palavras, o primeiro termo da accção efectiva de primeira ordem em ℏ do modelo EPRL corresponde à acção área-Regge, baseada na acção Regge, que, por sua vez, discretiza a relatividade geral de Einstein. A acção área-Regge difere, contudo, da primeira, uma vez que usa as áreas das faces como variáveis, ao invés dos comprimentos das arestas, como na acção Regge. Após o cálculo do limite semiclássico do modelo EPRL, apresentamos uma versão modificada do cálculo Regge, uma vez que este último é incapaz de definir uma medida invariante de gauge na integral de caminho. Esta teoria usa áreas de triângulos — seguindo os passos da teoria topológica BF —, assim como ângulos em 3d, que constrangem as áreas. O resultado é uma acção que impõe dois conjuntos de constrangimentos sobre a acção (comprimento-)Regge: o primeiro exige que a definição dos ângulos 2d em termos de ângulos 3d seja a mesma, independentemente do tetraedro escolhido (dos 2 possíveis para o primeiro ângulo), enquanto que o segundo inclui as áreas dos triângulos na definição da condição de fecho dos tetraedros. O efeito dos constrangimentos é a redução da acção área-ângulo Regge para a acção comprimento Regge. Finalmente, é apresentada uma modificação da acção área-ângulo Regge que inclui triangulações Lorentzianas. Estas triangulações consistem na foliação do espaço tempo em camadas com 3 dimensões, representando cada uma um tempo discreto. Estas camadas possuem símplices espaciais de dimensão 3 e estão interligadas por arestas temporais, formando assim símplices temporais de dimensão 4. Os comprimentos das arestas espaciais são fixos e iguais para todas as arestas desse tipo e o mesmo acontece para as arestas temporais (com um comprimento diferente das anteriores). Obtendo a fórmula que nos dá os ângulos 2d em termos dos ângulos 3d para este tipo de símplices Lorentzianas permite-nos modificar os constrangimentos anteriores de forma a acomodar os casos Euclideano e Lorentziano. A criação de um modelo de soma de estados para esta nova acção, assim como a modificação adequada desse modelo (por forma a garantir a sua convergência), a aplicação do método da acção efectiva ao mesmo e a generalização da nova acção para outros casos Lorentzianos são deixados para um trabalho futuro.Mikovic, AleksandarMimoso, José Pedro Oliveira, 1958-Repositório da Universidade de LisboaMarques, Miguel João de Lopes2018-11-29T16:11:04Z201820182018-01-01T00:00:00Zinfo:eu-repo/semantics/publishedVersioninfo:eu-repo/semantics/masterThesisapplication/pdfhttp://hdl.handle.net/10451/35530TID:202190331enginfo:eu-repo/semantics/openAccessreponame:Repositório Científico de Acesso Aberto de Portugal (Repositórios Cientìficos)instname:Agência para a Sociedade do Conhecimento (UMIC) - FCT - Sociedade da Informaçãoinstacron:RCAAP2023-07-14T15:24:29ZPortal AgregadorONG
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