Study of Ramsey's number R(3,10): analysis of graphs on 40 vertices

Detalhes bibliográficos
Autor(a) principal: Zitzke, Daniel Coswig
Data de Publicação: 2023
Outros Autores: Azevedo, Danielle Santos, Medeiros, Jonas Francisco de, Bernardino, Lenon Saturnino
Tipo de documento: Artigo
Idioma: por
Título da fonte: Remat (Bento Gonçalves)
Texto Completo: https://periodicos.ifrs.edu.br/index.php/REMAT/article/view/6424
Resumo: The Ramsey number R(k,l) is the smallest integer n such that there is no (k,l,n,e)-graph, where a (k,l,n,e)-graph denotes a graph G with n vertices and e edges and with C(G)<k e I(G)<l, where C(G) denotes the largest clique in G and I(G) denotes the largest independent set in G. The graph theory gave rise to extensive research, because no matter how simple the definition is, calculating the Ramsey numbers is an arduous task and few are known. Exoo (1989), Goedgebeur and Radziszowski (2013) showed that 40 <= R(3,10) <= 42. Thus, in this article, we will expose propositions that will be useful in the calculation of this Ramsey number. Based on the ideas of Grinstead and Roberts (1982) and Cariolaro (2007), properties and characteristics will be displayed for a bicolored graph of order 40, such that G is free of triangles, that is, C(G)<3, and does not have an independent set of order 10, that is, I(G)<10. We will show, for example, that given G = (V,E) a graph of order 40, such that C(G) < 3 and I(G) < 10, then, for every vertex v in V, we have that 4 <= deg(v) <= 9. Finally, we emphasize that the unpublished results obtained by the authors, in a research project developed at IFRS, Campus Alvorada, are found in Section 4.
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Thus, in this article, we will expose propositions that will be useful in the calculation of this Ramsey number. Based on the ideas of Grinstead and Roberts (1982) and Cariolaro (2007), properties and characteristics will be displayed for a bicolored graph of order 40, such that G is free of triangles, that is, C(G)<3, and does not have an independent set of order 10, that is, I(G)<10. We will show, for example, that given G = (V,E) a graph of order 40, such that C(G) < 3 and I(G) < 10, then, for every vertex v in V, we have that 4 <= deg(v) <= 9. Finally, we emphasize that the unpublished results obtained by the authors, in a research project developed at IFRS, Campus Alvorada, are found in Section 4.El número de Ramsey R(k,l) es el entero más pequeño n tal que no hay (k,l,n,e)-grafo, donde un (k,l,n,e)-grafo denota un grafo G con n vértices y e aristas y con C(G)<k e I(G)<l, en que C(G) denota el clic más grande en G y I(G) denota el conjunto independiente más grande en G. La teoría de grafos dio origen a una extensa investigación, pues por más simple que sea la definición, calcular los números de Ramsey es una tarea ardua y que pocos conocen. Exoo (1989), Goedgebeur y Radziszowski (2013) mostraron que 40 <= R(3,10) <= 42. Así, en este artículo expondremos proposiciones que serán de utilidad en el cálculo de este número de Ramsey. Basado en las ideas de Grinstead y Roberts (1982) y Cariolaro (2007), se mostrarán las propriedades e caracteristicas para un grafo G bicolor de orden 40, tal que G está libre de triángulos, esto es, C(G)<3, y no tiene un conjunto independiente de orden 10, es decir, I(G)<10. Mostraremos, por ejemplo, que dado G = (V,E) un grafo de orden 40 y con C(G) < 3 y I(G) < 10, entonces, para todo vértice v en V, tenemos que 4 <= deg(v) <= 9. Finalmente, destacamos que los resultados inéditos obtenidos por los autores, en un proyecto de investigación desarrollado en IFRS, Campus Alvorada, se encuentran en la Sección 4.O número de Ramsey R(k,l) é o menor número inteiro n tal que não exista (k,l,n,e)-grafo, sendo que um (k,l,n,e)-grafo denota um grafo G com n vértices e e arestas e com C(G)<k e I(G)<l, onde C(G) denota o maior clique em G e I(G) denota o maior conjunto independente em G. A teoria de grafos deu origem a vastas pesquisas, pois por mais simples que seja a definição, calcular os números de Ramsey é uma tarefa árdua e poucos são conhecidos. Exoo (1989), Goedgebeur e Radziszowski (2013) mostraram que 40<= R(3,10)<= 42. Assim, neste artigo, vamos expor proposições que serão úteis no cálculo deste número de Ramsey. Baseado nas ideias de Grinstead e Roberts (1982) e Cariolaro (2007), serão exibidas propriedades e características para um grafo bicolorido de ordem 40, tal que G seja livre de triângulos, isto é, C(G)<3, e não possua conjunto independente de ordem 10, ou seja, I(G)<10. Mostraremos, por exemplo, que dado G = (V,E) um grafo de ordem 40, tal que C(G) < 3 e I(G) < 10, então, para todo vértice v em V, tem-se que 4 <= deg(v) <= 9. Por fim, ressaltamos que os resultados inéditos obtidos pelos autores, em um projeto de pesquisa desenvolvido no IFRS, Campus Alvorada, encontram-se na Seção 4.Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Sul2023-11-04info:eu-repo/semantics/articleinfo:eu-repo/semantics/publishedVersionArtigo avaliado pelos paresapplication/pdfhttps://periodicos.ifrs.edu.br/index.php/REMAT/article/view/642410.35819/remat2023v9i2id6424REMAT: Revista Eletrônica da Matemática; Vol. 9 No. 2 (2023); e3005REMAT: Revista Eletrônica da Matemática; Vol. 9 Núm. 2 (2023); e3005REMAT: Revista Eletrônica da Matemática; v. 9 n. 2 (2023); e30052447-2689reponame:Remat (Bento Gonçalves)instname:Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Sul (IFRS)instacron:IFRSporhttps://periodicos.ifrs.edu.br/index.php/REMAT/article/view/6424/3451Copyright (c) 2023 REMAT: Revista Eletrônica da Matemáticahttps://creativecommons.org/licenses/by/4.0info:eu-repo/semantics/openAccessZitzke, Daniel CoswigAzevedo, Danielle SantosMedeiros, Jonas Francisco deBernardino, Lenon Saturnino2023-11-05T01:09:42Zoai:ojs2.periodicos.ifrs.edu.br:article/6424Revistahttp://periodicos.ifrs.edu.br/index.php/REMATPUBhttps://periodicos.ifrs.edu.br/index.php/REMAT/oai||greice.andreis@caxias.ifrs.edu.br2447-26892447-2689opendoar:2023-11-05T01:09:42Remat (Bento Gonçalves) - Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Sul (IFRS)false
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