Synchronization and control in networks with strongly time-delayed couplings

Detalhes bibliográficos
Autor(a) principal: Marcos Daniel Nogueira Maia
Data de Publicação: 2017
Tipo de documento: Tese
Idioma: eng
Título da fonte: Biblioteca Digital de Teses e Dissertações do INPE
Texto Completo: http://urlib.net/sid.inpe.br/mtc-m21b/2017/09.12.20.07
Resumo: The stability of synchronization and control in networks of dynamical systems with strongly delayed connections is investigated. Strict conditions for both, synchronization of stable periodic and equilibrium solutions , and control of unstable equilibrium are obtained. With a network model including self-feedback delay, the existence of a critical coupling strength kc is demonstrated, which is related to the network structure, isolated vector field and coupling function, such that for large delay and coupling strength k < kc the network undergoes to stable synchronization. Moreover, it is derived that for heterogeneous networks, kc $\rightarrow$ 0 as the network size grows to infinity, unless the coupling parameter scales with the maximum degree. In contrast, for random networks, the interval of coupling strengths that leads to stable synchronization is the maximum possible when the connectivity threshold is crossed making the network connected. Based on the network structure, the scaling of the coupling parameter, which allows for a synchronization, is derived. And, with a network model consisting of instantaneous self-connections, it is shown that it is possible to stabilize synchronous equilibrium that is unstable in an isolated system. Such a control close to a Hopf bifurcation is studied in details and strict conditions for the stability are obtained. In particular, it is demonstrated that the stabilization domains in parameter space are reappearing periodically and decreasing in size with the increase of time-delays. Also, the frequency of the reappearance of the control domains and the number spectral roots of the adjacency matrix are closely dependent, for instance, the number of cycle multi-partitions of the graph indicates the reappearance frequency of the control domains.
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Nesta tese investiga-se a estabilidade da sincronização e o controle em redes de sistemas dinâmicos onde o acoplamento se dá com atraso grande. São obtidas condições analíticas para ambos, a saber, sincronização de soluções periódicas e equilíbrios estáveis e controle de equilíbrio instáveis. Com um modelo de rede que inclui atraso com auto-alimentação, mostra-se a existência de um parâmetro crítico de acoplamento, kc, que depende apenas da estrutura da rede, do campo de vetores e da função de acoplamento, tal que para atraso grande e parâmetro de acoplamento k < kc a rede apresenta uma sincronização estável. Além disso, mostra-se que para redes heterogêneas, kc $\rightarrow$ 0 ao passo que o número de nós da rede cresce ao infinito, a menos que o parâmetro de acoplamento é escalonado com o grau máximo da rede. Em contrapartida, evidencia-se que para redes aleatórias, o intervalo de parâmetros de acoplamento que induzem sincronização estável é o máximo possível quando o limiar de conectividade da rede é atingindo fazendo com que a mesma se torne conectada. Baseando-se na estrutura da rede, propriedades de escalonamento do parâmetro de acoplamento são derivadas, permitindo sincronização estável. E, com um modelo de rede consistindo de auto-alimentação instantânea, verifica-se que é possível estabilizar soluções de equilíbrio que são instáveis no sistema isolado. Este cenário de controle quando o sistema isolado está próximo da bifurcação de Hopf é estudado em detalhes e então condições analíticas para a estabilidade são obtidas. Em particular, demonstra-se que os domínios de estabilização no espaço de parâmetros são periódicos e decrescentes ao passo que o atraso cresce. Além disso, evidencia-se como a frequência de reaparecimento de tais domínios é influenciada pelo número de raízes espectrais da matriz de adjacência do grafo, que por sua vez está relacionado com, por exemplo, as multipartições cíclicas do grafo.
description The stability of synchronization and control in networks of dynamical systems with strongly delayed connections is investigated. Strict conditions for both, synchronization of stable periodic and equilibrium solutions , and control of unstable equilibrium are obtained. With a network model including self-feedback delay, the existence of a critical coupling strength kc is demonstrated, which is related to the network structure, isolated vector field and coupling function, such that for large delay and coupling strength k < kc the network undergoes to stable synchronization. Moreover, it is derived that for heterogeneous networks, kc $\rightarrow$ 0 as the network size grows to infinity, unless the coupling parameter scales with the maximum degree. In contrast, for random networks, the interval of coupling strengths that leads to stable synchronization is the maximum possible when the connectivity threshold is crossed making the network connected. Based on the network structure, the scaling of the coupling parameter, which allows for a synchronization, is derived. And, with a network model consisting of instantaneous self-connections, it is shown that it is possible to stabilize synchronous equilibrium that is unstable in an isolated system. Such a control close to a Hopf bifurcation is studied in details and strict conditions for the stability are obtained. In particular, it is demonstrated that the stabilization domains in parameter space are reappearing periodically and decreasing in size with the increase of time-delays. Also, the frequency of the reappearance of the control domains and the number spectral roots of the adjacency matrix are closely dependent, for instance, the number of cycle multi-partitions of the graph indicates the reappearance frequency of the control domains.
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