Classificação Parcial das Superfícies Regradas Desenvolvíveis em R3

• Autor(a) principal: Quiluanje, Domingos Esteves Manuel
• Data de Publicação: 2018
• Tipo de documento: Dissertação
• Idioma: por
• Título da fonte: Repositório Científico de Acesso Aberto de Portugal (Repositórios Cientìficos)
• Texto Completo: http://hdl.handle.net/10400.6/10034
• topic: Classificação Parcial; Curvas Parametrizadas; Curvaturas; Superfícies Regradas Parametrizadas; Domínio/Área Científica::Ciências Exatas::Matemáticas

No conjunto de todas as superfíces, as superfícies regradas admitem parametrizações muito simples. Basta considerar uma curva e um campo vetorial ao longo dessa curva. A superfície é obtida movimentando as retas com a direcção dada pelo campo de vetores ao longo da curva. Todas as superfíces regradas têm curvatura não positiva e têm em geral, como estamos a considerar superfíces parametrizadas, pontos singulares. Os exemplos mais simples de superfícies regradas são o plano, o cilindro e o cone. Além destas, temos ainda o hiperbolóide de uma folha, o helicóide, o parabolóide hiperbólico e a faixa de Möbius. O objectivo deste trabalho é apresentar uma classificação parcial de uma subclasse das superfícies regradas, as superfícies regradas desenvolvíveis. Assim, depois da introdução, nos quatro capítulos seguintes estudamos algumas ferramentas que nos permitem atingir o objetivo preconizado, tais como: as curvas parametrizadas e o conceito de curvatura de uma curva, as noções elementares sobre superfícies, as formas fundamentais e a aplicação de Gauss que nos permite estudar a curvatura Gaussiana de uma superfíce parametrizada. No último capítulo, o principal, apresentamos alguns conceitos de superfícies regradas parametrizadas e um teorema de classificação parcial. Mostramos que as superfícies regradas têm curvatura de Gauss não positiva nos seus pontos regulares e, no caso de existirem pontos singulares na superfície, a curvatura Gaussiana é nula ao longo das geratrizes que intersectam estes pontos. Se a superfície regrada é desenvolvível a curvatura de Gauss é identicamente nula em todos os pontos regulares. Por fim, ressaltamos que o teorema apresentado permite-nos classificar "parcialmente"e não todas as superfícies desenvolvíveis. Por exemplo, se o conjunto dos zeros das funções envolvidas na superfície têm um ponto de acumulação, então a superfície regrada desenvolvível não está classificada pelo teorema estudado. No entanto, reafirmarmos que longe dos pontos de acumulação, uma superfície regrada desenvolvível é uma união de pedaços de cilindros, cones ou superfícies tangentes.