Matrizes laplacianas: propriedades espetrais e aplicações

• Autor(a) principal: Oliveira, Rita Alexandra Cardoso
• Data de Publicação: 2023
• Tipo de documento: Dissertação
• Idioma: por
• Título da fonte: Repositório Científico de Acesso Aberto de Portugal (Repositórios Cientìficos)
• Texto Completo: http://hdl.handle.net/10773/41053
• topic: Grafo; Matriz Laplaciana; Valor próprio; Índice Laplaciano; Conexidade algébrica; Vetor de Fiedler; Partição de Fiedler

Apesar de distintas, a Teoria dos Grafos e a Teoria das Matrizes relacionam-se, tal como sugere o facto dos grafos admitirem representações matriciais. Dado um grafo simples, a sua matriz Laplaciana corresponde à diferença entre a matriz diagonal dos graus dos seus vértices e a sua matriz de adjacência. Neste trabalho estudamos propriedades dos grafos tendo por base o conjunto dos valores próprios das matrizes Laplacianas correspondentes. De entre estes, destacamos o maior valor próprio, designado por índice Laplaciano, bem como o segundo menor valor próprio, denominado por conexidade algébrica. Através da determinação de majorantes para o índice Laplaciano conseguimos, naturalmente, majorar todo o espetro Laplaciano e, em alguns casos, identificar os grafos para os quais o majorante á atingido. Por outro lado, a conexidade algébrica permite-nos medir o quão conexo é um grafo. Adicionalmente, o vetor próprio associado à conexidade algébrica, conhecido como vetor de Fiedler, e alvo de estudo neste trabalho, devido à sua importância do ponto de vista prático. A partir deste vetor conseguimos, não só, classificar grafos conexos em um de dois tipos, mas também partir grafos conexos em exatamente duas componentes conexas, o que se revela útil em diversos contextos.