Campos de vetores suaves por partes: preservação de medida, pressão topológica e dinâmica simbólica
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Data de Publicação: | 2023 |
Tipo de documento: | Tese |
Idioma: | eng |
Título da fonte: | Repositório Institucional da UFSCAR |
Texto Completo: | https://repositorio.ufscar.br/handle/ufscar/18734 |
Resumo: | The study of piecewise smooth vector fields (PSVFs) has been consolidated in recent years not only because of the beauty of the theoretical results, but also because of the proximity of this area to applied sciences such as mechanics, engineering, electronics and biology, in addition to social sciences and economical. The main difference between PSVFs and smooth vector fields is the fact that there may not be unique the trajectory passing through each point a PSVF. With the existence of chaos, we can look for ways to calculate the topological entropy, since entropy estimates how chaotic the environment is system. In this work we follow this line of investigation and obtain a set of piecewise smooth vector field trajectories where the application of time one is well defined. In this way, we obtain a conjugacy between the itinerary of a trajectory contained in this set and sequences over a finite set of symbols. Thus, we study some aspects of thermodynamic formalism, more specifically topological pressure and, consequently, topological entropy for piecewise smooth vector fields, using topological conjugacy with one-sided shifts and the Ruelle-Perron-Frobenius Operator. Some relations between entropy, Hausdorff dimension and Minkowski dimension are also presented. In this sense, when the pressure is zero, we can use the Markov chain theory together with the Ruelle-Perron-Frobenius operator to calculate the relaxation time and estimate the mixing time for PSVFs. Finally, we introduce the concept of sliding-escaping connection for piecewise smooth vector fields and establish conditions in order to obtain a set of trajectories that preserves measure even in the case where sliding motion is allowed. As consequence, classical results from the ergodic theory of dynamical systems can be adapted for the context of piecewise smooth vector fields with a sliding-escaping connection, namely, the Poincare’s Recurrence Theorem and the Birkhoff’s Ergodic's Theorem. |
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Disponível em: https://repositorio.ufscar.br/handle/ufscar/18734.https://repositorio.ufscar.br/handle/ufscar/18734The study of piecewise smooth vector fields (PSVFs) has been consolidated in recent years not only because of the beauty of the theoretical results, but also because of the proximity of this area to applied sciences such as mechanics, engineering, electronics and biology, in addition to social sciences and economical. The main difference between PSVFs and smooth vector fields is the fact that there may not be unique the trajectory passing through each point a PSVF. With the existence of chaos, we can look for ways to calculate the topological entropy, since entropy estimates how chaotic the environment is system. In this work we follow this line of investigation and obtain a set of piecewise smooth vector field trajectories where the application of time one is well defined. In this way, we obtain a conjugacy between the itinerary of a trajectory contained in this set and sequences over a finite set of symbols. Thus, we study some aspects of thermodynamic formalism, more specifically topological pressure and, consequently, topological entropy for piecewise smooth vector fields, using topological conjugacy with one-sided shifts and the Ruelle-Perron-Frobenius Operator. Some relations between entropy, Hausdorff dimension and Minkowski dimension are also presented. In this sense, when the pressure is zero, we can use the Markov chain theory together with the Ruelle-Perron-Frobenius operator to calculate the relaxation time and estimate the mixing time for PSVFs. Finally, we introduce the concept of sliding-escaping connection for piecewise smooth vector fields and establish conditions in order to obtain a set of trajectories that preserves measure even in the case where sliding motion is allowed. As consequence, classical results from the ergodic theory of dynamical systems can be adapted for the context of piecewise smooth vector fields with a sliding-escaping connection, namely, the Poincare’s Recurrence Theorem and the Birkhoff’s Ergodic's Theorem.O estudo de campos de vetores suaves por partes (CVSPs) tem se consolidado nos últimos anos não apenas pela beleza dos resultados teóricos, mas também pela proximidade dessa área com as ciências aplicadas como mecânica, engenharia, eletrônica e biologia, além das ciências sociais e econômicas. A principal diferença entre CVSPs e campos de vetores suaves é o fato de que pode não haver unicidade de trajetória para todo ponto de um CVSP. Com a existência de caos, podemos buscar maneiras de calcular a entropia topológica, uma vez que entropia estima o quão caótico é o sistema. Neste trabalho seguimos esta linha de investigação e obtemos um conjunto de trajetórias dos campos de vetores suaves por partes onde a aplicação de tempo um está bem definida. Deste modo, obtemos uma conjugação entre o itinerário de uma trajetória contida neste conjunto e de sequências sobre um conjunto finito de símbolos. Assim, estudamos alguns aspectos do formalismo termodinâmico, mais especificamente pressão topológica e, consequentemente, entropia topológica para campos de vetores suaves por partes, usando conjugação topológica com shifts unilaterais e o Operador de Ruelle-Perron-Frobenius. Algumas relações entre entropia, dimensão de Hausdorff e dimensão de Minkowski também são apresentadas. Neste sentido, quando a pressão é zero, podemos usar a teoria da cadeias de Markov juntamente ao operador de Ruelle-Perron-Frobenius, para calcular o tempo de relaxação e estimar o tempo de mistura para CVSPs. Por fim, introduzimos o conceito de conexão deslize-escape para CVSPs e estabelecemos condições para obter um conjunto de trajetórias que preserva a medida mesmo no caso em que o movimento de deslize e permitido. Como consequência, resultados clássicos da teoria ergódica de sistemas dinâmicos podem ser adaptados para o contexto de CVSPs com uma conexão deslize-escape, a saber, o Teorema de Recorrência de Poincaré e o Teorema Ergódico de Birkhoff.Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES)CAPES: Código de financiamento 001engUniversidade Federal de São CarlosCâmpus São CarlosPrograma de Pós-Graduação em Matemática - PPGMUFSCarAttribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 Brazilhttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/br/info:eu-repo/semantics/openAccessPiecewise smooth vector fieldsSliding-escaping connectionTopological pressureOne-sided shiftsConexão-deslize-escapePressão topológicaShifts unilateraisCampos de vetores suaves por partesCIENCIAS EXATAS E DA TERRA::MATEMATICACampos de vetores suaves por partes: preservação de medida, pressão topológica e dinâmica simbólicaCampos vectoriales suaves por partes: preservación de medidas, presión topológica y dinámica simbólicaPiecewise smooth vector fields: measure preservation, topological pressure and symbolic dynamicsinfo:eu-repo/semantics/publishedVersioninfo:eu-repo/semantics/doctoralThesis6006008f989b22-75d6-44ed-8c5b-163cd6b9916creponame:Repositório Institucional da UFSCARinstname:Universidade Federal de São Carlos (UFSCAR)instacron:UFSCARORIGINALTese-versao-final.pdfTese-versao-final.pdfTeseapplication/pdf632591https://repositorio.ufscar.br/bitstream/ufscar/18734/1/Tese-versao-final.pdffd7874a3a574b55e461a7b12cfcba605MD51CC-LICENSElicense_rdflicense_rdfapplication/rdf+xml; charset=utf-8810https://repositorio.ufscar.br/bitstream/ufscar/18734/2/license_rdff337d95da1fce0a22c77480e5e9a7aecMD52TEXTTese-versao-final.pdf.txtTese-versao-final.pdf.txtExtracted texttext/plain147837https://repositorio.ufscar.br/bitstream/ufscar/18734/3/Tese-versao-final.pdf.txt70a26079504294322a8c5633dc4c902aMD53ufscar/187342024-05-14 17:13:21.466oai:repositorio.ufscar.br:ufscar/18734Repositório InstitucionalPUBhttps://repositorio.ufscar.br/oai/requestopendoar:43222024-05-14T17:13:21Repositório Institucional da UFSCAR - Universidade Federal de São Carlos (UFSCAR)false |
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