Involuções fixando RP(6)URP(2n) e variedades compatíveis com o ponto com respeito à involuções
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Data de Publicação: | 2020 |
Tipo de documento: | Tese |
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Texto Completo: | https://repositorio.ufscar.br/handle/ufscar/13785 |
Resumo: | In this work, we have two objectives: the first lives in the context of the classification, up to equivariant cobordism, of the pairs (M, T) , where M is a closed and smooth manifold and T is a smooth involution defined in M , with a prefixed fixed point set F . This is a well-established problem in the literature, and for reasons that will be explained in the introduction of this work, an important case is when F is an union of real projective spaces. Concerning this case, for F = R P(n) , such a classification was determined by P. E. Conner and E. E. Floyd, for n odd, and by R. E. Stong for n even. D. C. Royster determined such a classification when F is the disjoint union of two real projective spaces, F = R P(m)UR P(n) , but he left open the cases where m and n are even and greater than zero. P. L. Q. Pergher and A. Ramos worked on such open cases, solving the particular cases in which m is a power of 2 and n> 0 is any even natural number. Thus, taking into account the works of Royster, P. Pergher and A. Ramos, the first open case was F = R P(6) UR P(2n) . In our work, we obtain the classification for this open case; furthermore, we extend it to pairs (M, \Phi) , where \Phi is an smooth action of the group (Z_2)^k in M , where (Z_2)^k is understood here as the group generated by k commuting involutions T_1 , T_2 ,...., T_k defined in M . Our second objective is to deal with a definition, created by us, related to a certain property associated with a closed, connected and smooth manifold. Let F be such a manifold. We say that F satisfies the property CP ( compatible with the point) if there exists a closed and smooth manifold M and a smooth involution T such that the fixed point set of T is F U{point } . The inspiration for this definition was the fact that, Conner and Floyd proved that, among the spheres S ^ n , the only ones that satisfy such property were S ^ 1 , S ^ 2 , S ^ 4 and S ^ 8 , and later, P. Pergher determined all products of spheres that satisfy this property. Firstly, we determine some simple results of validity and non-validity of CP , among which we highlight the following intriguing result: every manifold of dimension 1 , 2 , 4 or 8 satisfies CP . However, the most intricate part of our work was some results of non validity of the property CP for Dold manifolds P (m, n) . |
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Costa, Jessica Cristina Rossinati Rodrigues daPergher, Pedro Luiz Queirozhttp://lattes.cnpq.br/3328545959112090http://lattes.cnpq.br/2267716444254349f3581dbd-85b3-4b63-9f06-c614e0e85e972021-01-28T18:12:35Z2021-01-28T18:12:35Z2020-11-25COSTA, Jessica Cristina Rossinati Rodrigues da. Involuções fixando RP(6)URP(2n) e variedades compatíveis com o ponto com respeito à involuções. 2020. Tese (Doutorado em Matemática) – Universidade Federal de São Carlos, São Carlos, 2020. Disponível em: https://repositorio.ufscar.br/handle/ufscar/13785.https://repositorio.ufscar.br/handle/ufscar/13785In this work, we have two objectives: the first lives in the context of the classification, up to equivariant cobordism, of the pairs (M, T) , where M is a closed and smooth manifold and T is a smooth involution defined in M , with a prefixed fixed point set F . This is a well-established problem in the literature, and for reasons that will be explained in the introduction of this work, an important case is when F is an union of real projective spaces. Concerning this case, for F = R P(n) , such a classification was determined by P. E. Conner and E. E. Floyd, for n odd, and by R. E. Stong for n even. D. C. Royster determined such a classification when F is the disjoint union of two real projective spaces, F = R P(m)UR P(n) , but he left open the cases where m and n are even and greater than zero. P. L. Q. Pergher and A. Ramos worked on such open cases, solving the particular cases in which m is a power of 2 and n> 0 is any even natural number. Thus, taking into account the works of Royster, P. Pergher and A. Ramos, the first open case was F = R P(6) UR P(2n) . In our work, we obtain the classification for this open case; furthermore, we extend it to pairs (M, \Phi) , where \Phi is an smooth action of the group (Z_2)^k in M , where (Z_2)^k is understood here as the group generated by k commuting involutions T_1 , T_2 ,...., T_k defined in M . Our second objective is to deal with a definition, created by us, related to a certain property associated with a closed, connected and smooth manifold. Let F be such a manifold. We say that F satisfies the property CP ( compatible with the point) if there exists a closed and smooth manifold M and a smooth involution T such that the fixed point set of T is F U{point } . The inspiration for this definition was the fact that, Conner and Floyd proved that, among the spheres S ^ n , the only ones that satisfy such property were S ^ 1 , S ^ 2 , S ^ 4 and S ^ 8 , and later, P. Pergher determined all products of spheres that satisfy this property. Firstly, we determine some simple results of validity and non-validity of CP , among which we highlight the following intriguing result: every manifold of dimension 1 , 2 , 4 or 8 satisfies CP . However, the most intricate part of our work was some results of non validity of the property CP for Dold manifolds P (m, n) .Nesse trabalho, visamos dois objetivos: o primeiro mora no contexto da classificação, a menos de cobordismo equivariante, dos pares (M,T), onde M é uma variedade fechada e suave e T é uma involução suave definida em M, com um conjunto de pontos fixos prefixado F. Trata-se de um problema bem estabelecido na literatura, e por razões que serão explicadas na introdução deste trabalho um importante caso é quando F é uma união de espaços projetivos reais. Concernente a este caso, para F=R P(n), tal classificação foi determinada por P. E. Conner e E. E. Floyd, quando n é impar, e por R. E. Stong, quando n é par. D.C. Royster determinou tal classificação quando F é a união disjunta de dois espaços projetivos reais, F=R P(M)UR P(N), mas deixou em aberto os casos em que m e n são pares e maiores que zero. P. L. Q. Pergher e A. Ramos trabalharam em tais casos em aberto, resolvendo os casos particulares em que m é uma potência de 2 e n>0 é um par qualquer. Desta forma, levando em conta os trabalhos de Royster, P. Pergher e A. Ramos, o primeiro caso particular em aberto era F=R P(6)UR P(2n). Em nosso trabalho, obtemos a classificação para tal caso; mais ainda, estendemos a mesma para pares (M,\Phi), onde \Phi é uma ação do grupo (Z_2)^k em M, sendo que (\Z_2)^k é entendido como o grupo gerado por k involuções comutantes T_1,T_2,....,T_k definidas em M. \ Nosso segundo objetivo foi trabalhar com uma definição, por nós criada, relativa a uma determinada propriedade associada a variedades fechadas, suaves e conexas. Seja F uma tal variedade. Dizemos que F satisfaz a propriedade CP (compatível com o ponto) se existe uma variedade fechada e suave M e uma involução suave T tal que o conjunto de pontos fixos de T é FU{ponto}. A inspiração para tal definição foi o fato de que, Conner e Floyd provaram que, entre as esferas S^n, as únicas que satisfaziam tal propriedade eram S^1, S^2, S^4 e S^8, e posteriormente, P. Pergher determinou quais produtos de esferas satisfaziam tal propriedade. Inicialmente determinamos alguns resultados simples de validade e não validade de CP, entre os quais destacamos o seguinte intrigante resultado: toda variedade de dimensão 1, 2, 4 ou 8 satisfaz CP. No entanto, a parte mais intrincada de nosso estudo foram alguns resultados de não validade da propriedade CP para as variedades de Dold P(m,n).Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq)Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES)CNPq: 163925/2017-8CAPES: 578560porUniversidade Federal de São CarlosCâmpus São CarlosPrograma de Pós-Graduação em Matemática - PPGMUFSCarAttribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 Brazilhttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/br/info:eu-repo/semantics/openAccessTopologia algebricaCobordismo equivarianteAlgebraic topologyEquivariant cobordismCIENCIAS EXATAS E DA TERRA::MATEMATICA::GEOMETRIA E TOPOLOGIAInvoluções fixando RP(6)URP(2n) e variedades compatíveis com o ponto com respeito à involuçõesInvolutions fixing RP(6)URP(2n) and manifolds compatible with the point respect to involutionsinfo:eu-repo/semantics/publishedVersioninfo:eu-repo/semantics/doctoralThesis600f365652a-a273-4c63-93e5-cb9755dde3d2reponame:Repositório Institucional da UFSCARinstname:Universidade Federal de São Carlos (UFSCAR)instacron:UFSCARORIGINALTese de Jessica Rossinati versao final.pdfTese de Jessica Rossinati versao final.pdfTese de doutoradoapplication/pdf881231https://repositorio.ufscar.br/bitstream/ufscar/13785/5/Tese%20de%20Jessica%20Rossinati%20versao%20final.pdfbe6a1a8c288f488fd1247c050e958f4dMD55comprovante versão final Jessica 001-convertido.pdfcomprovante versão final Jessica 001-convertido.pdfCarta comprovante assinada pelo orientadorapplication/pdf2038241https://repositorio.ufscar.br/bitstream/ufscar/13785/4/comprovante%20vers%c3%a3o%20final%20Jessica%20001-convertido.pdf41754cc5a696c18a3fd5f4d1b0033e55MD54CC-LICENSElicense_rdflicense_rdfapplication/rdf+xml; charset=utf-8811https://repositorio.ufscar.br/bitstream/ufscar/13785/6/license_rdfe39d27027a6cc9cb039ad269a5db8e34MD56TEXTTese de Jessica Rossinati versao final.pdf.txtTese de Jessica Rossinati versao final.pdf.txtExtracted texttext/plain200324https://repositorio.ufscar.br/bitstream/ufscar/13785/7/Tese%20de%20Jessica%20Rossinati%20versao%20final.pdf.txt9cc8ebacf4a2bdc529ebbca0c1b1a25fMD57comprovante versão final Jessica 001-convertido.pdf.txtcomprovante versão final Jessica 001-convertido.pdf.txtExtracted texttext/plain1https://repositorio.ufscar.br/bitstream/ufscar/13785/9/comprovante%20vers%c3%a3o%20final%20Jessica%20001-convertido.pdf.txt68b329da9893e34099c7d8ad5cb9c940MD59THUMBNAILTese de Jessica Rossinati versao final.pdf.jpgTese de Jessica Rossinati versao final.pdf.jpgIM Thumbnailimage/jpeg6704https://repositorio.ufscar.br/bitstream/ufscar/13785/8/Tese%20de%20Jessica%20Rossinati%20versao%20final.pdf.jpg073a460f49266b2504af9577baf70e6cMD58comprovante versão final Jessica 001-convertido.pdf.jpgcomprovante versão final Jessica 001-convertido.pdf.jpgIM Thumbnailimage/jpeg11611https://repositorio.ufscar.br/bitstream/ufscar/13785/10/comprovante%20vers%c3%a3o%20final%20Jessica%20001-convertido.pdf.jpge95649696f3620f8ad954a3c30fb845fMD510ufscar/137852023-09-18 18:32:06.104oai:repositorio.ufscar.br:ufscar/13785Repositório InstitucionalPUBhttps://repositorio.ufscar.br/oai/requestopendoar:43222023-09-18T18:32:06Repositório Institucional da UFSCAR - Universidade Federal de São Carlos (UFSCAR)false |
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In this work, we have two objectives: the first lives in the context of the classification, up to equivariant cobordism, of the pairs (M, T) , where M is a closed and smooth manifold and T is a smooth involution defined in M , with a prefixed fixed point set F . This is a well-established problem in the literature, and for reasons that will be explained in the introduction of this work, an important case is when F is an union of real projective spaces. Concerning this case, for F = R P(n) , such a classification was determined by P. E. Conner and E. E. Floyd, for n odd, and by R. E. Stong for n even. D. C. Royster determined such a classification when F is the disjoint union of two real projective spaces, F = R P(m)UR P(n) , but he left open the cases where m and n are even and greater than zero. P. L. Q. Pergher and A. Ramos worked on such open cases, solving the particular cases in which m is a power of 2 and n> 0 is any even natural number. Thus, taking into account the works of Royster, P. Pergher and A. Ramos, the first open case was F = R P(6) UR P(2n) . In our work, we obtain the classification for this open case; furthermore, we extend it to pairs (M, \Phi) , where \Phi is an smooth action of the group (Z_2)^k in M , where (Z_2)^k is understood here as the group generated by k commuting involutions T_1 , T_2 ,...., T_k defined in M . Our second objective is to deal with a definition, created by us, related to a certain property associated with a closed, connected and smooth manifold. Let F be such a manifold. We say that F satisfies the property CP ( compatible with the point) if there exists a closed and smooth manifold M and a smooth involution T such that the fixed point set of T is F U{point } . The inspiration for this definition was the fact that, Conner and Floyd proved that, among the spheres S ^ n , the only ones that satisfy such property were S ^ 1 , S ^ 2 , S ^ 4 and S ^ 8 , and later, P. Pergher determined all products of spheres that satisfy this property. Firstly, we determine some simple results of validity and non-validity of CP , among which we highlight the following intriguing result: every manifold of dimension 1 , 2 , 4 or 8 satisfies CP . However, the most intricate part of our work was some results of non validity of the property CP for Dold manifolds P (m, n) . |
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