Usando polinômios de Darboux na obtenção de integrais primeiras liouvillianas de equações diferenciais ordinárias racionais de segunda ordem
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Data de Publicação: | 2019 |
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Texto Completo: | http://www.bdtd.uerj.br/handle/1/16711 |
Resumo: | In the late XIX century Darboux laid the theoretical foundations that connected the search for first integrals of systems of differential equations with special polynomials (later they became known as Darboux polynomials). It was the first generalist (nonclassificatory) method, in the history of determining solutions/invariants of systems of differential equations. This procedure has been extended over time and the ’heart’ of all these ’Darbouxian’ approaches (for the search for first solutions/integrals of differential equations) was the determination of Darboux polynomials associated with the differential equation (or system) in question. Ironically, this is the more complex step of this kind of approach. Thus, in recent decades has been a significant increase in the number of studies that sought strategies to compute these polynomials. In the specific case of ordinary second order differential equations, Darboux polynomials are in three variables, which makes the process more difficult (it is already expensive when it comes to Darboux polynomials in two variables). In this thesis, me and my reseracrh group present alternative approaches to direct calculation (the so-called method of undetermined coefficients – MUC) for computation of Darboux’s polynomials. The techniques we build fit the context of order reducing order (search for first integrals) of rational ordinary differential equations of second order presenting at least one first Liouvillian integral. |
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Tese (Doutorado em Física) - Instituto de Física Armando Dias Tavares, Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2019.http://www.bdtd.uerj.br/handle/1/16711In the late XIX century Darboux laid the theoretical foundations that connected the search for first integrals of systems of differential equations with special polynomials (later they became known as Darboux polynomials). It was the first generalist (nonclassificatory) method, in the history of determining solutions/invariants of systems of differential equations. This procedure has been extended over time and the ’heart’ of all these ’Darbouxian’ approaches (for the search for first solutions/integrals of differential equations) was the determination of Darboux polynomials associated with the differential equation (or system) in question. Ironically, this is the more complex step of this kind of approach. Thus, in recent decades has been a significant increase in the number of studies that sought strategies to compute these polynomials. In the specific case of ordinary second order differential equations, Darboux polynomials are in three variables, which makes the process more difficult (it is already expensive when it comes to Darboux polynomials in two variables). In this thesis, me and my reseracrh group present alternative approaches to direct calculation (the so-called method of undetermined coefficients – MUC) for computation of Darboux’s polynomials. The techniques we build fit the context of order reducing order (search for first integrals) of rational ordinary differential equations of second order presenting at least one first Liouvillian integral.Em fins do século XIX Darboux lançou as bases teóricas que conectavam a busca de integrais primeiras de sistemas de equações diferenciais com certos polinômios especiais que, posteriormente, ficaram conhecidos como polinômios de Darboux. Era o primeiro método de essência ‘generalista’ (não classificatória) na história da busca de soluções/invariantes de sistemas de equações diferenciais. Esse procedimento foi estendido ao longo do tempo e o ‘coração’ de todas essas abordagens ‘Darbouxianas’ (para a busca de integrais primeiras / soluções de equações diferenciais) consistia na determinação dos polinômios de Darboux associados à equação diferencial (ou ao sistema) em questão. Ironicamente, este é o passo mais complexo deste tipo de abordagem. Desse modo, nas últimas décadas houve um aumento expressivo no número de trabalhos que buscavam estratégias para computar esses polinômios. No caso específico de equações diferenciais ordinárias de segunda ordem temos polinômios de Darboux em três variáveis, o que dificulta muito o processo (já custoso quando se trata de polinômios de Darboux em duas variáveis). Neste trabalho, eu e meu grupo de pesquisa, apresentamos várias abordagens alternativas ao cálculo direto (o chamado método dos coeficientes indeterminados – method of undetermined coefficients – MUC) para o cômputo dos polinômios de Darboux. As técnicas que construímos se inserem no contexto de redução de ordem (busca de integrais primeiras) de equações diferenciais ordinárias racionais de segunda ordem que apresentem pelo menos uma integral primeira Liouvilliana.Submitted by Teresa Silva CTC/D (teresadasilvarj@gmail.com) on 2021-09-30T03:17:49Z No. of bitstreams: 1 Tese - André Luiz Gomes da Cruz Claudino - 2019 - Completa.pdf: 1486181 bytes, checksum: 3abcf8ecebb79e5c0ab673a32bb050d2 (MD5)Made available in DSpace on 2021-09-30T03:17:49Z (GMT). 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