Um método alternativo para o cálculo da dimensão de fronteiras fractais entre bacias de atração

Detalhes bibliográficos
Autor(a) principal: Oliveira, Vitor Martins de
Data de Publicação: 2016
Tipo de documento: Dissertação
Idioma: por
Título da fonte: Repositório Institucional da UFABC
Texto Completo: http://biblioteca.ufabc.edu.br/index.php?codigo_sophia=102707
Resumo: Orientador: Rafael Ribeiro Dias Vilela de Oliveira
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spelling Um método alternativo para o cálculo da dimensão de fronteiras fractais entre bacias de atraçãoSISTEMAS DINÂMICOSDIMENSÃO FRACTALCAOS (SISTEMAS DINÂMICOS)DYNAMICAL SYSTEMSFRACTAL DIMENSIONChaosPROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA - UFABCOrientador: Rafael Ribeiro Dias Vilela de OliveiraDissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Matemática , 2016.No espaço de fases de sistemas dinâmicos, podem existir diferentes regiões as quais correspondem a diferentes comportamentos futuros do sistema: as bacias de atração. Separando essas regiões, há um conjunto de pontos, o qual chamamos de fronteira, que pode possuir uma geometria regular ou fractal, essa última caracterizada por uma dimensão D não inteira. A principal consequência de um sistema dinâmico possuir uma fronteira fractal em seu espaço de fases está na dificuldade em se determinar o comportamento futuro do sistema. De fato, dado que a precisão com a qual conseguimos medir um ponto é finita, existe uma área no espaço de fases em que não sabemos ao certo a qual bacia de atração o ponto pertence. Em especial, caso a fronteira seja fractal, essa área é proporcional a N..D, onde é o erro de medição e N é a dimensão do sistema. Dessa forma, percebemos a importância de conseguirmos calcular a dimensão D da fronteira fractal. Nesse trabalho, primeiro apresentamos os principais conceitos de sistemas dinâmicos e geometria fractal, relacionando essas estruturas geométricas ao comportamento dinâmico caótico. Em seguida, definimos as fronteiras e estendemos a elas o conceito de geometria fractal. Por último, apresentamos os métodos vigentes para o cálculo numérico da dimensão de fronteiras fractais, a saber, o método da incerteza e o método da avaliação da função de saída e, baseados no primeiro método, desenvolvemos um método alternativo: o método da incerteza condicional. Observamos que o método desenvolvido nesse trabalho é válido como um novo método para o cálculo da dimensão de fronteiras fractais, podendo ser utilizado tanto em sistemas de tempo contínuo quanto discreto.In the phase space of dynamical systems there may exist different regions which correspond to different final states: the basins of attraction. Between different basins of attraction, there is a set of points which we call basin boundary. Basin boundaries can be either smooth or fractal, the latter being characterized by a non-integer dimension D. The main consequence of fractal basin boundaries in the phase space of a dynamical system is the difficulty of determining the system¿s final state. Indeed, knowing that we can only measure a point with a finite precision, there is a phase space region where we cannot know in which of the basins of attraction the point really is by looking at the system¿s final state alone. In particular, for a fractal basin boundary, the area of the phase space where we cannot predict the final state with certainty is proportional to N..D, with being the measurement error and N the system¿s dimension. Therefore, it is important to know the dimension D of the fractal basin boundary. In this work, we first present the main concepts of dynamical systems and fractal geometry, linking these geometric structures to chaotic behavior in the system. Later, we define basin boundaries, both regular and fractal. At last, we present the two methods currently available to calculate the dimension of fractal basin boundaries in dynamical systems, namely the uncertainty method and the output function evaluation method. We propose a new method that is based on the former one called the conditional uncertainty method and we show that this method can calculate fractal dimensions of basin boundaries to a good accuracy either on continuous or discrete-time dynamics.Oliveira, Rafael Ribeiro Dias Vilela deOliveira, Vitor Martins de2016info:eu-repo/semantics/publishedVersioninfo:eu-repo/semantics/masterThesisapplication/pdf86 f. : il.http://biblioteca.ufabc.edu.br/index.php?codigo_sophia=102707http://biblioteca.ufabc.edu.br/index.php?codigo_sophia=102707&midiaext=72856http://biblioteca.ufabc.edu.br/index.php?codigo_sophia=102707&midiaext=72857Cover: http://biblioteca.ufabc.edu.br/php/capa.php?obra=102707porreponame:Repositório Institucional da UFABCinstname:Universidade Federal do ABC (UFABC)instacron:UFABCinfo:eu-repo/semantics/openAccess2022-03-16T11:08:19Zoai:BDTD:102707Repositório InstitucionalPUBhttp://www.biblioteca.ufabc.edu.br/oai/oai.phpopendoar:2022-03-16T11:08:19Repositório Institucional da UFABC - Universidade Federal do ABC (UFABC)false
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