Teoria ergódica: uma introdução e aplicações à teoria dos números.
Autor(a) principal: | |
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Data de Publicação: | 2008 |
Tipo de documento: | Dissertação |
Idioma: | por |
Título da fonte: | Repositório Institucional da Universidade Federal do Ceará (UFC) |
Texto Completo: | http://www.repositorio.ufc.br/handle/riufc/31838 |
Resumo: | In 2006, Ben Green and Terence Tao proved that the prime numbers contain arbitrarily large arithmetic progressions. The ideas of the proof come from Ergodic Theory and Harmonic Analysis and, since then, Ergodic Theory has attracted attention from the scientific community, because of its large interaction with other fields of Mathematics. This work develops this perspective, beginning from basic Ergodic Theory and arising at applications to Number Theory. Chapter 1 develops the necessary results from Measure Theory, introduces the basic examples and fixes notations. In Chapter 2, we prove the main tool to what follows, which is Birkhoff’s Ergodic Theorem. As a consequence of this theorem, we obtain many properties about the decimal expansion and continued fractions of the real numbers. Chapter 3 relates Ergodic Theory and Number Theory, and the main result here presented is Van der Waerden’s Theorem. This is a purely combinatorial result. Here, it will be proved as a consequence of the Multiple Birkhoff Theorem. In the end of this work, we sketch the main results in the area. |
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Teoria ergódica: uma introdução e aplicações à teoria dos números.Ergodic theory: an introduction and applications to number theory.Teorema de BirkhoffTeorema de Van der WaerdenTeorema de SzemerédiTeorema de Green-TaoBirkhoff’s theoremVan der Waerden’s theoremSzemer´edi’s theoremGreen-Tao’s theoremIn 2006, Ben Green and Terence Tao proved that the prime numbers contain arbitrarily large arithmetic progressions. The ideas of the proof come from Ergodic Theory and Harmonic Analysis and, since then, Ergodic Theory has attracted attention from the scientific community, because of its large interaction with other fields of Mathematics. This work develops this perspective, beginning from basic Ergodic Theory and arising at applications to Number Theory. Chapter 1 develops the necessary results from Measure Theory, introduces the basic examples and fixes notations. In Chapter 2, we prove the main tool to what follows, which is Birkhoff’s Ergodic Theorem. As a consequence of this theorem, we obtain many properties about the decimal expansion and continued fractions of the real numbers. Chapter 3 relates Ergodic Theory and Number Theory, and the main result here presented is Van der Waerden’s Theorem. This is a purely combinatorial result. Here, it will be proved as a consequence of the Multiple Birkhoff Theorem. In the end of this work, we sketch the main results in the area.Em 2006, Ben Green e Terence Tao provaram que existem progressões aritméticas de tamanho arbitrário formadas somente por primos. As idéias aplicadas na prova não foram da Teoria dos Números e sim adaptações de idéias da Teoria Ergódica e Análise Harmônica. Consequentemente, a Teoria Ergódica voltou a chamar a atenção da comunidade científica, devido à sua grande interação com outras áreas. Esse trabalho desenvolve essa perspectiva, partindo de ferramentas básicas da Teoria Ergódica a aplicações à Teoria dos Números. O Capítulo 1 trata da Teoria da Medida e fixa notações para o que segue, além de discutir exemplos. No Capítulo 2, provamos a principal ferramenta para o que segue, que é o Teorema Ergódica de Birkhoff. Ele possibilita obtermos várias propriedades interessantes da expansão decimal e da representação em frações contínuas dos números reais. O Capítulo 3 trata da interação da Teoria Ergódica com a Teoria dos Números, cujo principal teorema aqui demonstrado é o de Van der Waerden. Esse é um resultado puramente combinatório. Aqui, ele será obtido por intermédio do Teorema Múltiplo de Birkhoff. Por fim, fazemos um “sketch” dos principais resultados da área.Barros, Abdênago Alves deOliveira, Krerley Irraciel Martins deLima, Yuri Gomes2018-05-10T15:35:16Z2018-05-10T15:35:16Z2008-06-23info:eu-repo/semantics/publishedVersioninfo:eu-repo/semantics/masterThesisapplication/pdfLIMA, Yuri Gomes. Teoria ergódica: uma introdução e aplicações à teoria dos números. 2008. 87 f. Dissertação (Mestrado em Matemática) - Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2008.http://www.repositorio.ufc.br/handle/riufc/31838porreponame:Repositório Institucional da Universidade Federal do Ceará (UFC)instname:Universidade Federal do Ceará (UFC)instacron:UFCinfo:eu-repo/semantics/openAccess2019-08-16T17:52:30Zoai:repositorio.ufc.br:riufc/31838Repositório InstitucionalPUBhttp://www.repositorio.ufc.br/ri-oai/requestbu@ufc.br || repositorio@ufc.bropendoar:2024-09-11T18:46:11.709881Repositório Institucional da Universidade Federal do Ceará (UFC) - Universidade Federal do Ceará (UFC)false |
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