O problema de Bernstein

• Autor(a) principal: Marlon de Oliveira Gomes
• Data de Publicação: 2013
• Tipo de documento: Dissertação
• Idioma: por
• Título da fonte: Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da UFC
• Texto Completo: http://www.teses.ufc.br/tde_busca/arquivo.php?codArquivo=11137
• topic: subvariedades mÃnimas; estabilidade; conjuntos de perÃmetro finito; minimal submanifolds; stability; sets of finite perimeter; GEOMETRIA DIFERENCIAL

O problema de Bernstein clÃssico, resolvido por S. Bernstein em 1915-1917 em seu artigo [12], pergunta se existe um grÃfico mÃnimo completo em R3 alÃm do plano. Bernstein mostrou que a resposta para este problema à nÃo, utilizando mÃtodos analÃticos para o estudo de equaÃÃes de curvatura prescrita. Veremos aqui como este problema està relacionado com a aplicaÃÃo de Gauss deste grÃfico, e como conseqÃÃncia desta relaÃÃo iremos generalizar este teorema para uma classe de superfÃcies maior (nÃo necessariamente grÃficos), seguindo a prova dada por R. Osserman em [51]. Veremos a seguir generalizaÃÃes deste teorema em dimensÃes maiores, seguindo essencialmente os mÃtodos introduzidos Por W. Fleming em [31], e refinados posteriormente por E. De Giorgi, em [20], F. Almgren, em [6], e J. Simons, em [62], que resolvem o problema para grÃficos em Rn, n < 9 mostrando que o Ãnico grÃfico mÃnimo completo nesses espaÃos à o hiperplano. Mostraremos tambÃm que em dimensÃo n &#8805; 9, à possÃvel construir grÃficos mÃnimos completos em Rn, seguindo a prova apresentada por E. Bombieri, E. Di Giorgi e E. Giusti em [14]. Por fim, concluÃmos com uma extensÃo do teorema de Bernstein para a classe das subvariedades estÃveis com respeito à segunda variaÃÃo de volume, sob certas condiÃÃes de crescimento de curvatura ou volume, e investigaremos ainda o caso que a variedade ambiente nÃo à o espaÃo euclidiano.