Reduções e pull-backs de estruturas geométricas descrevendo sistemas não-holônomos
Autor(a) principal: | |
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Data de Publicação: | 2017 |
Tipo de documento: | Dissertação |
Idioma: | por |
Título da fonte: | Repositório Institucional da Universidade Federal Fluminense (RIUFF) |
Texto Completo: | https://app.uff.br/riuff/handle/1/9289 |
Resumo: | Os sistemas nao holônomos são sistemas mecânicos com restrições nas velocidades. Geometricamente as restrições descrevem uma distribuição não integrável (no sentido Frobenius) e como consequência a dinâmica não holônoma está descrita por um colchete almost Poisson {·,·}nh numa variedade M e uma função hamiltoniana HM. Se G é um grupo de Lie que deixa invariante o sistema não holônomo, então na variedade reduzida M/G temos induzido um colchete {·,·}red que descreve a dinâmica reduzida. Acontece em vários exemplos que o colchete reduzido é Poisson mesmo sendo induzido por um que não era. Quando este fenômeno acontece, falamos de hamiltonização. Neste trabalho se estudam sistemas não holônomos que admitem uma hamiltonização após uma redução por simetrias. As estruturas de (almost) Dirac (estruturas que generalizam 2- formas e colchetes) nos permitem estudar o pull-back a M do colchete de Poisson {·,·}red obtido em M/G. Nesta dissertaçãao comparamos as duas estruturas de almost Dirac definidas em M que descrevem a dinâmica: a estrutura de almost Dirac dada pelo colchete de almost Poisson {·,·}nh e a estrutura de Dirac induzida pelo pull-back do colchete de Poisson {·,·}red. Finalmente, se apresentam dois exemplos clássicos que admitem uma hamiltonização: a partícula não holônoma e a bola Chaplygin, e se estudam as suas estruturas de Dirac e almost Dirac associadas |
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Reduções e pull-backs de estruturas geométricas descrevendo sistemas não-holônomosGeometria simléticaSistemas não-holônomosEstruturas de DiracOs sistemas nao holônomos são sistemas mecânicos com restrições nas velocidades. Geometricamente as restrições descrevem uma distribuição não integrável (no sentido Frobenius) e como consequência a dinâmica não holônoma está descrita por um colchete almost Poisson {·,·}nh numa variedade M e uma função hamiltoniana HM. Se G é um grupo de Lie que deixa invariante o sistema não holônomo, então na variedade reduzida M/G temos induzido um colchete {·,·}red que descreve a dinâmica reduzida. Acontece em vários exemplos que o colchete reduzido é Poisson mesmo sendo induzido por um que não era. Quando este fenômeno acontece, falamos de hamiltonização. Neste trabalho se estudam sistemas não holônomos que admitem uma hamiltonização após uma redução por simetrias. As estruturas de (almost) Dirac (estruturas que generalizam 2- formas e colchetes) nos permitem estudar o pull-back a M do colchete de Poisson {·,·}red obtido em M/G. Nesta dissertaçãao comparamos as duas estruturas de almost Dirac definidas em M que descrevem a dinâmica: a estrutura de almost Dirac dada pelo colchete de almost Poisson {·,·}nh e a estrutura de Dirac induzida pelo pull-back do colchete de Poisson {·,·}red. Finalmente, se apresentam dois exemplos clássicos que admitem uma hamiltonização: a partícula não holônoma e a bola Chaplygin, e se estudam as suas estruturas de Dirac e almost Dirac associadasThe nonholonomic systems are mechanical systems with restrictions in the velocities. Geometrically the restrictions descrive a non-integrable distribution (in the Frobenious sense) as consequence the nonholomic dynamic is described by an almost Poisson bracket {·, ·}nh over a manifold M and a hamiltonian function HM. Let G be a Lie group that fixes the nonholonomic system, then at the reduced manifold M/G we have an induced bracket {·, ·}red that descrives the reduced dynamic. In many examples the reduced almost Poisson bracket is Poisson, although being induced by one that wasn’t. When this happens we speak of hamiltonization. In this work we study nonholonomic systems that admit a hamiltonization after a symmetry reduction. The (almost) Dirac structures (structures that generalize 2-forms and brackets) allow us to study the ”pull-back”on M of the Poisson bracket {·, ·}red obtained in M/G. In this thesis we compare the two almost Dirac structures defined in M that ”describe”the dynamic: the almost Dirac structure given by the almost Poisson bracket {·, ·}nh and the almost Dirac structure induced by the ”pull-back”of the Poisson {·, ·}red. Finally we present two a hamiltonization: the nonholonomic particle and the Chaplygin sphere, and study its associated Dirac and almost Dirac structures58 f.Balseiro, PaulaFerreira Netto, Clarice de Souza2019-04-25T18:05:58Z2019-04-25T18:05:58Z2017info:eu-repo/semantics/publishedVersioninfo:eu-repo/semantics/masterThesisapplication/pdfhttps://app.uff.br/riuff/handle/1/9289Aluno de MestradoCC-BY-SAinfo:eu-repo/semantics/openAccessporreponame:Repositório Institucional da Universidade Federal Fluminense (RIUFF)instname:Universidade Federal Fluminense (UFF)instacron:UFF2022-11-30T00:44:23Zoai:app.uff.br:1/9289Repositório InstitucionalPUBhttps://app.uff.br/oai/requestriuff@id.uff.bropendoar:21202022-11-30T00:44:23Repositório Institucional da Universidade Federal Fluminense (RIUFF) - Universidade Federal Fluminense (UFF)false |
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