Formas locais normais através do truque de Moser

• Autor(a) principal: Cespedes, Lenny Neiza Mamani
• Data de Publicação: 2023
• Tipo de documento: Dissertação
• Idioma: por
• Título da fonte: Repositório Institucional da Universidade Federal Fluminense (RIUFF)
• Texto Completo: http://app.uff.br/riuff/handle/1/29256
• topic: Geometria simplética; Lema de Morse; Teorema de Darboux; Truque de Moser; Lema de Morse isochore; Geometria; Topologia; Teorema

Sejam $(M,\omega)$ uma variedade simplética de dimensão $2n$, $\fun{f}{M}{\R}$ uma função suave e $p\in M$ um ponto crítico não-degenerado de $f$ tal que $f(p)=0$. Pelo \textit{lema de Morse} temos que existe um sistema de coordenadas $\varphi$ centrado em $p$ tal que $\varphi^*Q=f$, onde $Q(x_1,...,x_n)=x_1^2+\cdotsx_{\lambda}^2+x_{\lambda+1}^2+\cdots x_{2n}^2$, onde $\lambda$ é o indice de $f$ em $p$. Por outro lado, pelo \textit{teorema de Darboux} temos que existe um sistema de coordenadas $\varphi$ centrado em $p$ tal que $\varphi^*\omega_0=\omega$, onde $\omega_0$ é a forma simplética padrão em $\R^{2n}$. Uma questão interessante é saber se existe um sistema de coordenadas centrado em $p$ que relaciona $f$ com $Q$ e $\omega$ com $\omega_0$ ao mesmo tempo. A resposta é, em geral não. Sem embargo, se $M$ tem dimensão $2$, o \textit{lema de Morse isochore} vai nos fornecer um sistema de coordenas que relaciona $f$ com $Q$ e $\omega$ com um 'múltiplo' de $\omega_0$. \\ Neste trabalho vamos ver que as formas locais normais acima mencionadas podem ser provadas usando uma técnica muito importante conhecida como o \textit{truque de Moser}.