CURVAS ALGÉBRICA E O TEOREMA DE BÉZOUT

• Autor(a) principal: Ludwig Monteiro Alvarenga Arouca
• Data de Publicação: 2019
• Tipo de documento: Trabalho de conclusão de curso
• Idioma: por
• Título da fonte: Repositório Institucional da UFLA
• Texto Completo: http://repositorio.ufla.br/jspui/handle/1/44766; http://sip.prg.ufla.br/arquivos/php/bibliotecas/repositorio/download_documento/20192_201611191

O trabalho baseia-se no estudo das curvas algébricas planas. Em um primeiro momento estudamos as curvas em C² e suas propriedades. Com a motivação de resolver um sistema de equações, que geometricamente representa as interseções entre duas curvas, começamos a estudar interseções entre duas curvas algébricas através do método da resultante. Nesse contexto, um resultado importante sobre interseções entre curvas algébricas é o Teorema de Bézout (versão fraca). Tal resultado apresenta uma cota superior para o número de interseção entre duas curvas. Com isso, foi possível estudar algumas aplicações do Teorema de Bézout como, por exemplo, o Teorema de Pappus. Outra aplicação é o Teorema do Hexágono de Pascal, que diz que os pontos de interseção dos lados opostos de um hexágono inscrito numa cônica irredutível são colineares. A continuidade do estudo deste tema foi motivada a partir dos exemplos nos quais o número de interseções que encontrávamos não chegava ao número máximo apresentado pelo Teorema de Bézout (versão fraca). Por exemplo, quando temos uma parábola, de equação y x² e a reta, de equação x 1, temos apenas o ponto de interseção P (1,1). Mas, pelo Teorema de Bézout, o número máximo de pontos seria dois. Com isso, demos sequência aos estudos com os pontos no infinito, o plano projetivo P2 e curvas projetivas que, a partir desses conceitos, nos dá condições de encontrar todas as interseções entre duas curvas. Assim, temos Teorema de Bézout (versão forte) Sejam C e D duas curvas projetivas definidas por F e G, onde grau(F) m e grau(G) n. Suponha que C e D não têm componentes em comum, então C e D têm exatamente mn pontos de interseção.