Índice do catenoide capilar imerso na bola unitária Euclidiana

• Autor(a) principal: Wilson Berrocal Meza
• Data de Publicação: 2022
• Tipo de documento: Tese
• Idioma: por
• Título da fonte: Repositório Institucional da UFMG
• Texto Completo: http://hdl.handle.net/1843/53869
• topic: Hipersuperfícies mínimas capilares; Índice de morse; Aplicação normal de Gauss; Hipersuperfície estável; Matemática – Teses; Hipersuperficies – Teses; Índice de Morse – Teses; Aplicação de Gauss – Teses

Esta tese consiste de vários resultados sobre hipersuperfícies mínimas capilares contidas na bola unitária Euclidiana $\mathbb{B}_{1}^{n+1}(0)$. Na primeira parte, estudamos o índice de Morse das catenoides capilares contidas na bola Euclidiana $\mathbb{B}_{1}^{3}(0)$. Nós provamos que, se $\Sigma_{c}$ é uma catenoide capilar contida em $\mathbb{B}_{1}^{3}(0)$ onde $c$ é constante de capilaridade, então o índice de Morse de $\Sigma_{c}$ está entre 3 e 7 ($3\leq\Ind(\Sigma_{c})\leq 7$). Além disso, obtemos que qualquer catenoide capilar com ângulo de contato próximo de $\frac{\pi}{2}$ possui índice de Morse igual a 4, assim como a catenoide crítica. Também, verificamos que não existe catenoide capilar na bola unitária com ângulo de contato menor que $\widetilde{\theta}\approx 1.3421$. Para encontrarmos nossa estimativa do índice das catenoides capilares, focamos na análise de dois problemas de autovalores mais simples associados à nossa superfície mínima capilar (Jacobi-Steklov e bordo fixo). Na segunda parte, mostramos alguns resultados de classificação de hipersuperfícies mínimas capilares considerando que as funções coordenadas da aplicação normal de Gauss são autofunções de Jacobi-Steklov. Para $n=2$, mostramos que, se algum dos autovalores associados às funções coordenadas da aplicação normal de Gauss é zero, então a superfícies é um disco totalmente geodésico. Ainda para $n=2$, provamos que, se dois autovalores associadas às funções coordenadas da aplicação normal de Gauss são iguais e diferentes de zero, então a superfícies é uma catenoide capilar. Na última parte, encontramos duas identidades integrais que nos permitir apresentar uma prova diferente do seguinte resultado que já foi mostrado por outros autores: se $\Sigma^{n}$ é uma hipersuperfície estacionária estável de tipo-II(estabilidade no espaço de funções que têm média zero no bordo) na bola unitária, então $\Sigma^{n}$ é um $n$-disco totalmente geodésico.