Comportamento assintótico de soluções de alguns problemas elípticos em espaços de Orlicz-Sobolev

• Autor(a) principal: Viviane Mendes Magalhães
• Data de Publicação: 2021
• Tipo de documento: Tese
• Idioma: por
• Título da fonte: Repositório Institucional da UFMG
• Texto Completo: http://hdl.handle.net/1843/36098
• topic: Comportamento assintótico; N-função; Φ-Laplaciano; problema singular; solução de viscosidade; Matemática – Teses.; Expansões assintótica – Teses.; Equações diferenciais parciais – Teses.; Operador laplaciano – Teses.; Perturbação (Matematica) – Teses.; Soluções de viscosidade – Teses.

Seja Ω um domínio limitado e suave de RN e, para cada n ∈ N, seja Φn uma N-função da forma Φ n(t) = Z0t sφn(s) ds em que φn : R → R é uma função par satisfazendo propriedades adicionais. Na primeira parte deste trabalho estudamos o comportamento assintótico, quando n → ∞, de un ∈ W01,Φn(Ω), solução de um problema singular da forma 8>><>>: −∆Φnu = Λn f(x) uα em Ω, u > 0 em Ω, u = 0 sobre ∂Ω, (1) em que 0 ≤ α ≤ 1, f é uma função não negativa, não trivial em L1(Ω), e Λn é uma constante positiva. No Capítulo 1, mostramos que o problema singular (1) tem uma única solução fraca un ∈ W 1,Φn 0 (Ω) no caso em que Λn = 1 e 0 ≤ α ≤ 1. No Capítulo 2, exploramos o fato de que un é o minimizador global do funcional energia Jn (u) := ZΩ Φn(|∇u|) dx − ZΩ f (uun)α dx, un ∈ W01,Φn(Ω), para provar que lim n→∞ un = d uniformemente em Ω, em que d denota a função distância até a fonteira ∂Ω. No Capítulo 3, provamos que, para 0 ≤ α < 1, o funcional modular t 7→ ZΩ Φn(|∇u|) dx, sob a restrição ZΩ f|u|1−α dx = 1, admite um minimizador positivo un ∈ W01,Φn(Ω) que é solução fraca de (1) com Λn = ZΩ φn(|∇un|)|∇un|2 dx. Além disso, provamos que lim n→∞ un = ε−1d uniformemente em Ω, em que ε = ZΩ fd1−α dx, e também que lim n→∞ (Λn)n1 = lim n→∞ ZΩ Φn(|∇un|) dx 1n = γ1(ε), em que a função γ1 : [0, ∞) → [0, ∞) é deinida por γ1(t) := lim n→∞ (φ0n(t)) 1n , se t > 0, e γ1(0) = 0. Para provar esses resultados de convergência mostramos que: γ1 é contínua, estritamente crescente e sobrejetiva; as sequências (Λn)n1 e ZΩ Φn(|∇un|) dx 1n convergem para o mesmo número positivo Λ∞; e un converge uniformemente para uma função u∞ ∈ C0(Ω) ∩ W1,∞(Ω) que é solução de viscosidade da equação min{−∆∞u, γ1(|∇u|) − Λ∞} = 0. Então, concluímos que Λ∞ = γ1(ε) e u∞ = ε−1d. Na segunda parte deste trabalho, desenvolvida no Capítulo 4, estudamos o comportamento assintótico dos minimizadores do quociente do tipo Rayleigh k∇ kvvkkΨΦjl , em que (Φl) e (Ψj) são sequências de N-funções. Provamos que, a menos de subsequências, o minimizador de k∇·k k·kΨΦjl converge, quando j → ∞, para o minimizador de k∇·k k·k∞Φl , o qual, por sua vez, converge, quando l → ∞, para o minimizador w∞ do quociente tipo Rayleigh k∇·k k·k∞∞ . Além disso, mostramos que w∞ é a solução de viscosidade