Fluxo de calor em estados estacionários de não-equilíbrio

• Autor(a) principal: Ricardo de Carvalho Falcao
• Data de Publicação: 2006
• Tipo de documento: Tese
• Idioma: por
• Título da fonte: Repositório Institucional da UFMG
• Texto Completo: http://hdl.handle.net/1843/IACO-6WLSF8
• topic: Fluxo de calor; Fluxo de calor; Cristal harmônico; Lei de Fourier; Mecânica estatística; Sistemas de não equilíbrio; Cristal anarmônico

O contexto desse trabalho é o estudo e a caracterização de estados estacionários de não equilíbrio a partir de modelos microscópicos Hamiltonianos. Em particular estamos interessados no problema da condução de calor em sólidos que fornece um exemplo bastante elementar de estudo de um estado estacionário de não equilíbrio. Um modelo microscópico bastante estudado na literatura é a cadeia de osciladores harmônicos, ou sua versão anarmônica em contato com reservatórios térmicos de Langevin, i.e. reservatórios representados por variáveis estocásticas. O estudo destes modelos matemáticos simples  é de grande valor para o entendimento mais profundo das hipóteses necessárias para a validade da lei de Fourier. Em particular estamos interessados no papel da não harmonicidade no potencial local ou na  interação entre as partículas, e no papel da temperatura para a validade ou não da lei de Fourier. Sabemos da mecânica estatística de equilíbrio que se todos os reservatórios térmicos estão na mesma temperatura o estado estacionário atingido é aquele de temperatura uniforme descrito pela medida de Gibbs, porém quando o sistema está submetido a diferentes temperaturas, não sabemos qual medida descreve este estado. Não podemos nem garantir a existência de uma distribuição estacionária, nem se esta distribuição é única. O nosso objetivo neste trabalho é estudar algumas propriedades destes estados estacionários. Neste trabalho analisamos a dinâmica estocástica de Langevin de um cristal (an)harmônico, i.e. estudamos um modelo de campo escalar na rede, com variáveis de \textit{spin} não limitadas. Em uma caixa $\Lambda \subset \mathbb{Z}^d$ acoplados à banhos térmicos estocásticos em cada sítio. Precisamente estamos considerando um sistema de $N$ osciladores com o Hamiltoniano \begin{equation}H(q,p)=\sum_{j=1}^{N}\frac{1}{2}\left [p_j^2+U^{(1)}(q_j)\right ] + \frac{1}{2}\sum_{j\neq l=1}^{N} U^{(2)}(q_j-q_l),  \label{Hamiltonian0}\end{equation} onde $U^{(1)}$ é um potencial local e $U^{(2)}$ um potencial de interação. A evolução temporal é dada pelas seguintes equações diferenciais estocásticas \begin{eqnarray} dq_j&=&p_jdt , \quad\quad\quad ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~j=1,\ldots,N, \label{eq:dynamics}\\ dp_j&=&-\frac{\partial H}{\partial q_j}dt-\zeta p_jdt+\gamma^{1/2}_jdB_j  , \quad\quad\quad j=1,\ldots,N, \nonumber\end{eqnarray} onde $B_j$ são processos de Wiener independentes, isto é, $dB_j/dt$ são ruídos branco independentes, $\zeta$ é a constante de acoplamento com o banho térmico e $\gamma_j=2\zeta T_j$, onde $T_j$ é a temperatura do j-ésimo banho térmico. Desenvolvemos uma  abordagem para tratar este problema. Essa abordagem está baseada na construção de uma fórmula integral que na física estatística de equilíbrio seria algo parecido com a função de partição e em teorias de campo seria uma fórmula similar a de Feynnman-Kac. De posse desta fórmula integral estamos aptos a realizar cálculos analíticos para diversos sistemas concretos. Analisamos três sistemas em particular que são: o cristal harmônico, o cristal anarmônico, e o modelo do rotor.