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Fabio Enrique Brochero Martínezhttp://lattes.cnpq.br/2118422761261421Herivelto Martins Borges FilhoLucas da Silva ReisLuciane Quoos ConteSávio Reishttp://lattes.cnpq.br/3238857523448244Lays Grazielle Cardoso Silva de Jesus2020-05-26T22:17:14Z2020-05-26T22:17:14Z2020-02-28http://hdl.handle.net/1843/33551Seja $\mathbb{F}_{q}$ um corpo finito com $q$ elementos. Neste trabalho serão abordados essencialmente dois tipos de problemas sobre polinômios irredutíveis. O primeiro é a construção de polinômios irredutíveis a partir da composição de um polinômio irredutível com o polinômio $x^n$. Este é um problema particular de um problema mais geral sobre fatoração de polinômios irredutíveis, quando fazemos composição deste com um outro polinômio ao qual conhecemos totalmente sua fatoração. Em particular, neste trabalho, impondo algumas condições sobre $q$, $n$, a ordem e o grau do polinômio $f$, encontramos uma fatoração de $f(x^n)$, que pode ser implementada computacionalmente para determinar explicitamente os fatores irredutíveis desta composição. Além disso, no processo também é determinada uma fórmula explícita do número de fatores irredutíveis. Este resultado generaliza os resultados encontrados em \cite{BGM}, \cite{Mey}, \cite{BGO} e \cite{WYF}. \\ Como consequência, no caso em que $f(x)=x-1$, o número de fatores irredutíveis de $x^n-1$ é também o número de elementos normais da extensão $\mathbb{F}_{q^n}$ sobre $\mathbb{F}_q$.\\ Na segunda parte do trabalho, restringimos nosso foco ao estudo de binômios irredutíveis, pois existe um critério de irredutibilidade clássico para este tipo de polinômio. Este critério foi explorado por Heyman e Shparlinski em \cite{HeSh} para determinar cotas superiores e inferiores para o número total de binômios sobre $\mathbb{F}_q$ de grau limitado por $T$, com $T$ suficientemente grande. No trabalho deles, também são encontradas cotas superior e inferior para o número total de binômios de grau $t$ sobre os corpos $\mathbb{F}_q$ quando $q$ está limitado por uma constante $Q$, mas achamos que este tipo de estimativa não é muito interessante, pois são contados objetos que pertencem a corpos com características distintas. Assim, nesta segunda parte são determinadas fórmulas, que são assintoticamente corretas, para o número de binômios irredutíveis sobre $\mathbb{F}_q$ e de grau menor que $T$, melhorando substancialmente o resultado de Heyman e Shparlinski. Também são encontradas fórmulas para cotas superior e inferior que são válidas para valores pequenos de $T$.Let $\mathbb {F}_{q} $ be a finite field with $ q $ elements. In this thesis, we focus on two types of problems about irreducible polynomials. The first one is the construction of irreducible polynomials from the composition of an irreducible polynomial with the polynomial $x^n $. This is a particular case of a more general problem about finding irreducible polynomial factorization, when it composes $f(x)$ with another polynomial to which its factorization is complete known. In particular, imposing some conditions on $ q $, $ n $, the order and the degree of the polynomial $f$, we find a procedure, which can be computationally implemented in order to determine explicitly the irreducible factors of this composition $f(x^n)$. In addition, an explicit formula for the number of irreducible factors is determined in the process. This result generalizes the results found in \cite{BGM}, \cite{Mey}, \cite{BGO} and \cite{WYF}.\\ Consequently, in the case when $f (x) = x-1$, the number of irreducible factors of $x^n-1$ is also the number of normal elements of the extension $ \mathbb {F} _ {q^n }$ over $\mathbb {F}_q$.\\ In the second part this these, we restringe our study to irreducible binomials, because there is a classic irreducibility criterion for this type of polynomial. This criterion was explored by Heyman and Shparlinski in \cite {HeSh} to find upper and lower bounds for the total number of binomials over $ \mathbb {F} _q $ with degree $ t\le T $, where $ T $ is large enough. In their work, they also find upper and lower bounds for the total number of irreducible binomials of degree $t$ over the field $ \mathbb {F} _q $ when $ q $ is limited by a constant $ Q $, but we think that this type of estimate is not very interesting because they count objects that are belong fields with different characteristics. Thus, in this second part, we determine formulas, which are asymptotically correct, for the number of irreducible binomials over $ \mathbb {F}_q $ and degree less than $ T $. This formulas substantially improves the result of Heyman and Shparlinski. Also found formulas for upper and lower bounds that are valid for small values of $T$.CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível SuperiorporUniversidade Federal de Minas GeraisPrograma de Pós-Graduação em MatemáticaUFMGBrasilICX - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAhttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/pt/info:eu-repo/semantics/openAccessMatemática - TesesPolinômiosCorpos finitos (Álgebra)Polinômios irredutíveisPolinômios ciclotômicosCorpos finitos.Polinômios irredutíveis sobre corpos finitos: construção, contagem e estimativas assintóticasinfo:eu-repo/semantics/publishedVersioninfo:eu-repo/semantics/doctoralThesisreponame:Repositório Institucional da UFMGinstname:Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG)instacron:UFMGCC-LICENSElicense_rdflicense_rdfapplication/rdf+xml; charset=utf-8811https://repositorio.ufmg.br/bitstream/1843/33551/2/license_rdfcfd6801dba008cb6adbd9838b81582abMD52LICENSElicense.txtlicense.txttext/plain; charset=utf-82119https://repositorio.ufmg.br/bitstream/1843/33551/3/license.txt34badce4be7e31e3adb4575ae96af679MD53ORIGINALVersão final da Tese Lays.pdfVersão final da Tese Lays.pdfVersão final da Teseapplication/pdf1043770https://repositorio.ufmg.br/bitstream/1843/33551/1/Vers%c3%a3o%20final%20da%20Tese%20Lays.pdfa8fa4ccc45cdf27ab4ec89e832fae046MD511843/335512020-05-26 19:17:14.397oai:repositorio.ufmg.br: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Repositório InstitucionalPUBhttps://repositorio.ufmg.br/oaiopendoar:2020-05-26T22:17:14Repositório Institucional da UFMG - Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG)false
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