Sobre as regularidades das wavelets de Daubechies

• Autor(a) principal: Isadora Maria Miranda Guedes
• Data de Publicação: 2019
• Tipo de documento: Dissertação
• Idioma: por
• Título da fonte: Repositório Institucional da UFMG
• Texto Completo: http://hdl.handle.net/1843/EABA-BAPHCS
• topic: wavelets; Matemática

Classicamente, uma wavelet é uma função $\psi\in L^2(\mathbb{R})$, tal que o conjunto de funções $\{\psi_{j,k}(x): \; j,k \in \mathbb{Z}\}$, onde $\psi_{j,k}(x)=2^{-j/2}\psi(2^{-j}x-k)$, forma uma base ortonormal para o espaço $L^2(\mathbb{R})$. Uma classe de wavelets particularmente importante são as wavelets de Daubechies, $_N\psi,$ as quais constituem uma família de wavelets a um parâmetro N, onde $N\in\mathbb{N}.$ Para cada N, a wavelet $_N\psi$ possui as seguintes propriedades: o tamanho do seu suporte é 2N-1, seus momentos de ordem $0,\cdots, N-1$ são nulos e sua regularidade cresce com N. A regularidade de uma wavelet é importante em compressão de dados, por exemplo, em imagens a qualidade visual depende da regularidade da wavelet utilizada. Nesta dissertação, construiremos as wavelets $_N\psi$ e, a partir de estimativas do decaimento da transformada de Fourier de $_N\phi$, onde $_N\phi$ é a função de escala associada à $_N\psi$, seguindo as referências Daubechies \cite{daubart} e Volkmer \cite{volkmer}, analisaremos a regularidade de $_N\psi$. Mais precisamente, para $\alpha = n + \beta,$ onde $n \in \mathbb{N}$ e $ 0 \leq \beta < 1,$ seja $C^{\alpha}(\mathbb{R})$ o conjunto de todas as funções f que são n vezes continuamente diferenciáveis e tais que a sua n-ésima derivada $f^{(n)}$ é Hölder contínua com expoente $\beta.$ Seguindo Daubechies \cite{daubart}, mostraremos que $_N\psi\in C^{\alpha_N}(\mathbb{R})$, onde $\displaystyle \lim_{N\rightarrow \infty}\frac{\alpha_N}{N}=1-\frac{\log 3}{2 \log 2}\approx0,2075.$ Obtemos também cotas inferiores para $\alpha_N$ para valores pequenos de N. Por outro lado, o índice de regularidade da transformada de Fourier de ${_N\phi}$, denotado por $\gamma_N,$ é o supremo sobre todos os $\gamma$ tais que $\int_{-\infty}^\infty(1+|\omega|)^\gamma |\hat{\phi}(\omega)|\, d\omega<\infty$. Seguindo Volkmer \cite{volkmer}, obtemos cotas inferiores e superiores para $\gamma_N$, o que nos permite reproduzir o limite acima de uma maneira mais simples. Além disso, melhoramos a cota inferior para $\gamma_2$ e encontramos uma cota superior para o mesmo.