Boa colocação e comportamento de soluções no espaço de energia para a equação de Schrödinger não-linear 3D cúbica

• Autor(a) principal: Alan Bruno do Nascimento
• Data de Publicação: 2020
• Tipo de documento: Dissertação
• Idioma: por
• Título da fonte: Repositório Institucional da UFMG
• Texto Completo: http://hdl.handle.net/1843/61123
• topic: Equação de Schrödinger não-linear; Espaço de energia; Interpolação; Boa-colocação; Explosão; Espalhamento; Matemática – Teses; Equação de Schrödinger – Teses; Interpolação– Teses; Espalhamento – Teses

Neste trabalho estudamos a boa colocação local e global, bem como a explosão em tempo finito e espalhamento das soluções no espaço de energia do problema de valor inicial associado à equação de Schrödinger não-linear em R^3 i∂tu + Δu + |u|2u = 0. (1) No Capítulo 2 introduzimos ferramentas essenciais de análise funcional e análise harmônica, assim como propriedades da equação elíptica Δψ − ψ + ψ3 = 0,que são importantes para o entendimento dos fenômenos da equação de Schrödinger acima enunciados. No Capítulo 3 demonstramos a boa colocação local para a equação (1), por meio do Teorema do Ponto Fixo de Banach. No Capítulo 4, utilizamos o método de decomposição em perfis em H1(R3) para determinar a constante ótima para a desigualdade de Gagliardo-Nirenberg ∥f∥4L4 ≤ c ∥∇f∥3L2 ∥f∥L2 , um resultado valioso para o entendimento da dicotomia boa colocação global e explosão, demonstrada em seguida. Finalmente, no Capítulo 5, passamos ao estudo do comportamento assintótico das soluções globais de (1). Demonstramos que, abaixo do limiar massa-energia da equação elíptica associada, as soluções globais têm espalhamento.