On weighted Sobolev spaces: Trudinger-Moser and isoperimetric inequalities

• Autor(a) principal: Leandro Gonzaga Fernandes Junior
• Data de Publicação: 2019
• Tipo de documento: Tese
• Idioma: eng
• Título da fonte: Repositório Institucional da UFMG
• Texto Completo: http://hdl.handle.net/1843/31236
• topic: weighted Trudinger-Moser inequality; weighted rearrangement; Schwarz symmetrization; isoperimetric inequalities; Sobolev Inequalities; monomial weights; Matemática – Teses; Equações diferenciais Elípticas – Teses.; Sobolev, Espaço de - Teses

O objetivo geral da tese é o estudo de Equações Diferenciais Parciais Elípticas. A tese é dividida em duas Partes: (I) Desigualdade do Tipo Trudinger-Moser sobre espaços de Sobolev com pesos; e (II) A existência e não-existência de desigualdades isoperimétricas com pesos monomiais diferentes. Na Parte I, estabelecemos uma desigualdade do tipo Trudinger-Moser sobre espaços de Sobolev com pesos sobre o intervalo $(0,+\infty)$, relacionada com a classe de operadores elípticos quasilineares cuja forma radial é dada por $\displaystyle Lu:=-r^{-\theta} (r^{\alpha}\vert u'(r)\vert^{\beta}u'(r))',$ onde $\theta, \beta\geq 0$ e $\alpha>0$, são constantes satisfazendo algumas condições de existência. Vale enfatizar que esses operadores generalizam o $p$-Laplaceano e $k$- Hessiana, no caso radial. Os resultados envolvem dimensão fracionária, um princípio de P\'olya-Szeg{\"o} com pesos e uma limitação para a constante ótima associada com a desigualdade do tipo Gagliardo-Nirenberg. Na Parte II, consideramos pesos monomiais $x^{A}=\vert x_{1}\vert^{a_{1}}\ldots\vert x_{N}\vert^{a_{N}}$, onde $a_{i}$ é um número real não negativo para cada $i\in\{1,\ldots,N\}$, e estabelecemos a existência e não-existência de desigualdades isoperimétricas com pesos monomiais diferentes. Estudamos minimizadores positivos de $\int_{\partial\Omega}x^{A}\mathcal{H}^{N-1}(x)$ sobre todos os conjuntos abertos, limitados e suaves cujo volume $\int_{\Omega}x^{B}dx$ é fixo.