A Transformada Discreta de Fourier no círculo finito ℤ/nℤ
Autor(a) principal: | |
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Data de Publicação: | 2016 |
Tipo de documento: | Dissertação |
Idioma: | por |
Título da fonte: | Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da UFPB |
Texto Completo: | https://repositorio.ufpb.br/jspui/handle/tede/9429 |
Resumo: | We will do here a theoretical study of the Discrete Fourier Transform on the finite circle ℤ/nℤ. Our main objective is to see if we can get properties analogous to those found in the Fourier transform for the continuous case. In this work we show that ℤ/nℤ has a ring structure, providing conditions for the development of extensively discussed topics in arithmetic, for example, The Chinese Remainder Theorem, Euler’s Phi Function and primitive roots, themes these to be dealt with in first chapter. The main subject of this study is developed in the second chapter, which define the space L2(ℤ/nℤ) and prove that this is a finite-dimensional inner product vector space, with an orthonormal basis. This fact is of utmost importance when we are determining the matrix and demonstrating the properties of the discrete Fourier transform. We will also make geometric interpretations of the Chinese Remainder Theorem and the finite circle ℤ/nℤ as well as give a graphical representation of the DFT of some functions that calculate. During the development of this study we will make recurrent use of definitions and results treated in Arithmetic, Algebra and Linear Algebra. |
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A Transformada Discreta de Fourier no círculo finito ℤ/nℤTransformada Discreta de FourierAnel quociente ℤ/nℤConvolução de funções discretasRaízes primitivasGrupos cíclicosDiscrete Fourier TransformQuotient ring ℤ/nℤDiscrete convolution functionsPrimitive rootsCyclic groupsMATEMATICA::MATEMATICA APLICADAWe will do here a theoretical study of the Discrete Fourier Transform on the finite circle ℤ/nℤ. Our main objective is to see if we can get properties analogous to those found in the Fourier transform for the continuous case. In this work we show that ℤ/nℤ has a ring structure, providing conditions for the development of extensively discussed topics in arithmetic, for example, The Chinese Remainder Theorem, Euler’s Phi Function and primitive roots, themes these to be dealt with in first chapter. The main subject of this study is developed in the second chapter, which define the space L2(ℤ/nℤ) and prove that this is a finite-dimensional inner product vector space, with an orthonormal basis. This fact is of utmost importance when we are determining the matrix and demonstrating the properties of the discrete Fourier transform. We will also make geometric interpretations of the Chinese Remainder Theorem and the finite circle ℤ/nℤ as well as give a graphical representation of the DFT of some functions that calculate. During the development of this study we will make recurrent use of definitions and results treated in Arithmetic, Algebra and Linear Algebra.Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPESFaremos, aqui, um estudo teórico sobre a Transformada Discreta de Fourier no círculo finito ℤ/nℤ. Nosso principal objetivo é verificar se podemos obter propriedades análogas às encontradas nas transformadas de Fourier para o caso contínuo. Nesse trabalho mostraremos que ℤ/nℤ tem uma estrutura de anel, dando condições para o desenvolvimento de temas bastante discutidos na Aritmética como, por exemplo, o Teorema Chinês do Resto, função Phi de Euler e raízes primitivas, temas estes que serão tratados no primeiro capítulo. O assunto principal desse estudo é desenvolvido no segundo capítulo, onde definiremos o espaço L2(ℤ/nℤ) e provaremos que este é um espaço vetorial com produto interno, dimensão finita e uma base ortonormal. Tal fato será de extrema importância quando estivermos determinando a matriz e demonstrando as propriedades da transformada discreta de Fourier. Também faremos interpretações geométricas do Teorema Chinês do Resto e do círculo finito ℤ/nℤ assim como daremos a representação gráfica da DFT de algumas funções que calcularemos. Durante o desenvolvimento desse estudo faremos uso recorrente de definições e resultados tratados na Aritmética, Álgebra e Álgebra Linear.Universidade Federal da ParaíbaBrasilMatemáticaMestrado Profissional em MatemáticaUFPBCaro Tuesta, Napoleónhttp://lattes.cnpq.br/2522358502756972Farias Filho, Antonio Pereira de2017-09-05T15:29:04Z2018-07-20T23:48:10Z2018-07-20T23:48:10Z2016-08-26info:eu-repo/semantics/publishedVersioninfo:eu-repo/semantics/masterThesisapplication/pdfFARIAS FILHO, Antonio Pereira de. A Transformada Discreta de Fourier no círculo finito ℤ/nℤ. 2016. 89f. Dissertação (Mestrado Profissional em Matemática)- Universidade Federal da Paraíba, João Pessoa, 2016.https://repositorio.ufpb.br/jspui/handle/tede/9429porinfo:eu-repo/semantics/openAccessreponame:Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da UFPBinstname:Universidade Federal da Paraíba (UFPB)instacron:UFPB2018-09-06T00:54:56Zoai:repositorio.ufpb.br:tede/9429Biblioteca Digital de Teses e Dissertaçõeshttps://repositorio.ufpb.br/PUBhttp://tede.biblioteca.ufpb.br:8080/oai/requestdiretoria@ufpb.br|| diretoria@ufpb.bropendoar:2018-09-06T00:54:56Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da UFPB - Universidade Federal da Paraíba (UFPB)false |
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We will do here a theoretical study of the Discrete Fourier Transform on the finite circle ℤ/nℤ. Our main objective is to see if we can get properties analogous to those found in the Fourier transform for the continuous case. In this work we show that ℤ/nℤ has a ring structure, providing conditions for the development of extensively discussed topics in arithmetic, for example, The Chinese Remainder Theorem, Euler’s Phi Function and primitive roots, themes these to be dealt with in first chapter. The main subject of this study is developed in the second chapter, which define the space L2(ℤ/nℤ) and prove that this is a finite-dimensional inner product vector space, with an orthonormal basis. This fact is of utmost importance when we are determining the matrix and demonstrating the properties of the discrete Fourier transform. We will also make geometric interpretations of the Chinese Remainder Theorem and the finite circle ℤ/nℤ as well as give a graphical representation of the DFT of some functions that calculate. During the development of this study we will make recurrent use of definitions and results treated in Arithmetic, Algebra and Linear Algebra. |
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