Soluções assintóticas formais de segunda ordem na homogeneização assintótica de meios microperiódicos
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Data de Publicação: | 2017 |
Tipo de documento: | Dissertação |
Idioma: | por |
Título da fonte: | Repositório Institucional da UFPel - Guaiaca |
Texto Completo: | http://guaiaca.ufpel.edu.br/handle/prefix/4684 |
Resumo: | Nesta dissertação o método de homogeneização assintótica é utilizado como ferramenta na obtenção de soluções para alguns problemas físicos, lineares, unidimensionais e multidimensionais. O estudo se baseia em modelos matemáticos que descrevem o comportamento de sólidos heterogêneos na microestrutura. O método busca um novo problema, denominado problema homogeneizado (meio homogêneo), que é equivalente ao problema original (meio heterogêneo). Assim, de um parâmetro geométrico pequeno, separam-se as escalas macroscópica e microscópica e aplica-se o método de homogeneização assintótica a partir da célula básica. Essa célula apresenta uma regularidade e periodicidade na microestrutura do material, onde contém todas as características físicas do meio. Portanto, os resultados obtidos podem ser estendidos ao longo do domínio da estrutura. Assim, uma solução para o problema original é proposta através de uma solução assintótica formal. No desenvolvimento do método são encontrados os problemas locais, os coeficientes efetivos e o problema homogeneizado. Os problemas locais são referentes ao comportamento do material na célula básica e devem ser resolvidos para a obtenção das soluções dos termos da solução assintótica e dos coeficientes efetivos. Esses coeficientes, juntamente com a solução do problema homogeneizado, proporcionam o comportamento efetivo (global), equivalente ao que ocorre fisicamente no meio heterogêneo. O problema original apresenta equações diferenciais parciais com coeficientes rapidamente oscilantes. Portanto, buscam-se os coeficientes efetivos, pertencentes ao problema homogeneizado, correspondentes aos coeficientes do problema original. Finalmente, a solução do problema original deve convergir para a solução do problema homogeneizado, e isto é mostrado matematicamente através da relação de proximidade entre as soluções. Em particular soluções assintóticas formais de segunda ordem são obtidas para aproximar melhor os detalhes locais das soluções exatas, pois nas abordagens mais tradicionais do método de homogeneização assintótica procuram-se apenas soluções assintóticas formais de primeira ordem que não fornecem tais detalhes. Para ilustrar os resultados obtidos são propostos exemplos, com o intuito de verificar a proximidade entre as soluções encontradas. |
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2019-08-15T11:47:42Z2019-08-15T11:47:42Z2017-08-04LEITZKE, Bruna da Silva. Soluções Assintóticas Formais de Segunda Ordem na Homogeneização Assintótica de Meios Microperiódicos. 2017. 130 f. Dissertação (Mestrado em Modelagem Matemática) – Programa de Pós-Graduação em Modelagem Matemática, Instituto de Física e Matemática, Universidade Federal de Pelotas, Pelotas, 2017.http://guaiaca.ufpel.edu.br/handle/prefix/4684Nesta dissertação o método de homogeneização assintótica é utilizado como ferramenta na obtenção de soluções para alguns problemas físicos, lineares, unidimensionais e multidimensionais. O estudo se baseia em modelos matemáticos que descrevem o comportamento de sólidos heterogêneos na microestrutura. O método busca um novo problema, denominado problema homogeneizado (meio homogêneo), que é equivalente ao problema original (meio heterogêneo). Assim, de um parâmetro geométrico pequeno, separam-se as escalas macroscópica e microscópica e aplica-se o método de homogeneização assintótica a partir da célula básica. Essa célula apresenta uma regularidade e periodicidade na microestrutura do material, onde contém todas as características físicas do meio. Portanto, os resultados obtidos podem ser estendidos ao longo do domínio da estrutura. Assim, uma solução para o problema original é proposta através de uma solução assintótica formal. No desenvolvimento do método são encontrados os problemas locais, os coeficientes efetivos e o problema homogeneizado. Os problemas locais são referentes ao comportamento do material na célula básica e devem ser resolvidos para a obtenção das soluções dos termos da solução assintótica e dos coeficientes efetivos. Esses coeficientes, juntamente com a solução do problema homogeneizado, proporcionam o comportamento efetivo (global), equivalente ao que ocorre fisicamente no meio heterogêneo. O problema original apresenta equações diferenciais parciais com coeficientes rapidamente oscilantes. Portanto, buscam-se os coeficientes efetivos, pertencentes ao problema homogeneizado, correspondentes aos coeficientes do problema original. Finalmente, a solução do problema original deve convergir para a solução do problema homogeneizado, e isto é mostrado matematicamente através da relação de proximidade entre as soluções. Em particular soluções assintóticas formais de segunda ordem são obtidas para aproximar melhor os detalhes locais das soluções exatas, pois nas abordagens mais tradicionais do método de homogeneização assintótica procuram-se apenas soluções assintóticas formais de primeira ordem que não fornecem tais detalhes. Para ilustrar os resultados obtidos são propostos exemplos, com o intuito de verificar a proximidade entre as soluções encontradas.In this dissertation, the asymptotic homogenization method is used as a tool to obtain solutions for some physical, linear, one-dimensional and multidimensional problems. The study is based on mathematical models that describe the behavior of heterogeneous solids in the microstructure. The method looks for a new problem, called homogenized problem (homogeneous medium), which is equivalent to the original problem (heterogeneous medium). Thus, from a small geometric parameter, the macroscopic and microscopic scales are separated and the asymptotic homogenization method is applied from the basic cell. This cell presents a regularity and periodicity in the microstructure of the material, and it contains all the physical characteristics of the medium. Therefore, the results obtained can be extended over the domain of the structure. Thus, a solution to the original problem is proposed as a formal asymptotic solution. In the development of the method the local problems, the effective coefficients and the homogenized problem are found. The local problems are related to the behavior of the material in the basic cell and must be solved to obtain the solutions of the terms of the formal asymptotic solution and the effective coefficients. These coefficients, together with the solution of the homogenized problem, provide the effective (global) behavior, equivalent to what occurs physically in the heterogeneous medium. The original problem presents partial differential equations with rapidly oscillating coefficients. Therefore, effective coefficients of the homogenized problem, corresponding to the coefficients of the original problem are sought. Finally, the solution of the original problem must converge to the solution of the homogenized problem, and this is shown mathematically through the proximity relation between the solutions. In particular, second-order formal asymptotic solutions are obtained to improve the approximation of the local details of the exact solutions, as the traditional approach of the asymptotic homogenization method seeks only first-order formal asymptotic solutions which do not provide such details. In order to illustrate the results obtained, examples are proposed to verify the proximity between the solutions found.Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPESporUniversidade Federal de PelotasPrograma de Pós-Graduação em Modelagem MatemáticaUFPelBrasilInstituto de Física e MatemáticaCNPQ::CIENCIAS EXATAS E DA TERRA::MATEMATICAModelagem matemáticaMétodo de homogeneização assintóticaMateriais microperiódicosSoluções assintóticasAsymptotic homogenization methodMicroperiodic materialsAsymptotic solutionsSoluções assintóticas formais de segunda ordem na homogeneização assintótica de meios microperiódicosSecond-order formal asymptotic solutions in the asymptotic homogenization of microperiodic mediainfo:eu-repo/semantics/publishedVersioninfo:eu-repo/semantics/masterThesishttp://lattes.cnpq.br/1556456446023287http://lattes.cnpq.br/2600285500812676Castillero, Julián Bravohttp://lattes.cnpq.br/9647533579414452Fernández, Leslie Darien PérezLeitzke, Bruna da Silvainfo:eu-repo/semantics/openAccessreponame:Repositório Institucional da UFPel - Guaiacainstname:Universidade Federal de Pelotas (UFPEL)instacron:UFPELTEXTdissertacao_bruna_da_silva_leitzke.pdf.txtdissertacao_bruna_da_silva_leitzke.pdf.txtExtracted texttext/plain173488http://guaiaca.ufpel.edu.br/xmlui/bitstream/prefix/4684/6/dissertacao_bruna_da_silva_leitzke.pdf.txt1189661ffdb45a9469b07364720717f9MD56open accessTHUMBNAILdissertacao_bruna_da_silva_leitzke.pdf.jpgdissertacao_bruna_da_silva_leitzke.pdf.jpgGenerated Thumbnailimage/jpeg1240http://guaiaca.ufpel.edu.br/xmlui/bitstream/prefix/4684/7/dissertacao_bruna_da_silva_leitzke.pdf.jpge8d460ef9b220760a0f50dc8de0710dbMD57open accessORIGINALdissertacao_bruna_da_silva_leitzke.pdfdissertacao_bruna_da_silva_leitzke.pdfapplication/pdf39207945http://guaiaca.ufpel.edu.br/xmlui/bitstream/prefix/4684/1/dissertacao_bruna_da_silva_leitzke.pdfd417556d4bb5a59faaabf3ad95e2e300MD51open accessCC-LICENSElicense_urllicense_urltext/plain; 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