Jogos combinatórios em grafos: jogo Timber e jogo de Coloração

• Autor(a) principal: Furtado, Ana Luísa Carvalho
• Data de Publicação: 2017
• Tipo de documento: Tese
• Idioma: por
• Título da fonte: Repositório Institucional da UFRJ
• Texto Completo: http://hdl.handle.net/11422/6400
• topic: CNPQ::CIENCIAS EXATAS E DA TERRA::CIENCIA DA COMPUTACAO::MATEMATICA DA COMPUTACAO; Otimização combinatória; Teoria dos grafos; Teoria dos jogos

Estudo de três jogos combinatórios competitivos. O jogo timber é jogado em digrafos, sendo que cada arco representa um dominó, e o sentido do arco indica o sentido em que o mesmo pode ser derrubado, causando um efeito em cadeia. O jogador que derrubar o último dominó é o vencedor. Uma P-position é uma orientação das arestas de um grafo na qual o segundo jogador ganha. Se o grafo possui ciclos, então não há P-positions e, por este motivo, o jogo timber só é interessante quando jogado em árvores. Determinamos o número de P-positions em três famílias de caterpillars e um limite inferior para o número de P-positions em uma caterpillar qualquer. Além disto, provamos que uma árvore qualquer possui P-positions se, e somente se, possui quantidade par de arestas. No jogo de coloração, Alice e Bob se revezam colorindo propriamente os vértices de um grafo, sendo que Alice tenta minimizar o número de cores, enquanto Bob tenta maximizá-lo. O número cromático do jogo é o menor número de cores que garante que o grafo pode ser propriamente colorido apesar da intenção de Bob. Determinamos o número cromático do jogo para três subclasses de orestas (compostas por caterpillars), apresentamos duas condições su cientes e duas condições necessárias para qualquer caterpillar ter número cromático do jogo igual a 4. No jogo de marcação, Alice e Bob selecionam alternadamente os vértices não selecionados de um grafo, e Alice tenta garantir que para algum inteiro k, todo vértice não selecionado tem no máximo k − 1 vizinhos selecionados. O número de coloração do jogo é o menor k possível. Estabelecemos limites inferiores e superiores para a relação do tipo Nordhaus-Gaddum referente ao número de P-positions de uma caterpillar, aos números cromático e de coloração do jogo em um grafo qualquer.