Comportamento de livre escala nas sequências de hailstone usando o mapa de Collatz

• Autor(a) principal: Santos, Desiane Maiara Gomes dos
• Data de Publicação: 2021
• Tipo de documento: Tese
• Idioma: por
• Título da fonte: Repositório Institucional da UFRN
• Texto Completo: https://repositorio.ufrn.br/handle/123456789/44909
• topic: Física; Avalanche; Sistema complexo; Lei de potência; Movimento browniano; Sequências de granizo

A conjectura de Collatz, possivelmente o problema mais elementar na matemática ainda não resolvido, a rma que para todos os inteiros positivos n, o mapa n 7→ n/2 (n par) e n 7→ 3n + 1 (n ímpar) atinge 1 após um número nito de iterações. As órbitas do mapa de Collatz que aqui consideramos, também conhecidas como sequências de granizo, foram geradas buscando entender se exibem ou não comportamento invariante de escala, em analogia com certos processos observados em sistemas físicos reais. Desenvolvemos uma maneira e ciente de gerar órbitas para n's extremamente grandes (por exemplo, maior do que n ≈ 103,000), permitindo analisar estatisticamente sequências muito longas. Com essa maneira e ciente, encontramos evidência muito forte de uma lei de potência sem escala para o mapa de Collatz. Derivamos analiticamente os expoentes de escala, apresentando excelente concordância com as estimativas numéricas. As sequências sem escala vistas na dinâmica de Collatz são consistentes com o Movimento Browniano Geométrico com Drift, que é compatível com a validade da conjectura de Collatz. Nossos resultados levam a outra conjectura (concebivelmente testável por meio de simulações numéricas diretas, embora demoradas): dado uma condição inicial n, o número médio de iterações necessárias para chegar a 1 é proporcional, para a ordem mais baixa, a log[n].