Formalização da lógica linear em Coq

• Autor(a) principal: Xavier, Bruno Francisco
• Data de Publicação: 2017
• Tipo de documento: Dissertação
• Idioma: por
• Título da fonte: Repositório Institucional da UFRN
• Texto Completo: https://repositorio.ufrn.br/jspui/handle/123456789/22622
• topic: CNPQ::CIENCIAS EXATAS E DA TERRA::MATEMATICA: MATEMÁTICA APLICADA E ESTATÍSTICA; Lógica linear; Coq; Eliminação do corte

Em teoria da prova, o teorema da eliminação do corte (ou Hauptsatz, que significa resultado principal) é de suma importância, uma vez que, em geral, implica na consistência e na propriedade subfórmula para um dado sistema. Ele assinala que qualquer prova em cálculo de sequentes que faz uso da regra do corte pode ser substituída por outra que não a utiliza. A prova procede por indução na ordem lexicográfica (peso da fórmula, altura do corte) e gera múltiplos casos quando a fórmula de corte é ou não principal. De forma geral, deve-se considerar a última regra aplicada nas duas premissas imediatamente depois de aplicar a regra do corte, o que gera um número considerável de situações. Por essa razão, a demonstração poderia ser propensa a erros na hipótese de recorremos a uma prova informal. A lógica linear (LL) é uma das lógicas subestruturais mais significativas e a regra do corte é admissível no seu cálculo de sequentes. Ela é um refinamento do modelo clássico e intuicionista. Sendo uma lógica sensível ao uso de recursos, LL tem sido amplamente utilizada na especificação e verificação de sistemas computacionais. À vista disso, se torna relevante sua abordagem neste trabalho. Nesta dissertação, formalizamos, em Coq, três cálculos de sequentes para a lógica linear e provamos que são equivalentes. Além disso, provamos metateoremas tais como admissibilidade da regra do corte, generalização das regras para axioma inicial, ! e copy e invertibilidade das regras para os conectivos , ?, & e ?. No tocante à invertibilidade, demonstramos uma versão por indução sobre a altura da derivação e outra com aplicação da regra do corte, o que nos possibilitou conferir que, em um sistema que satisfaz Hauptsatz, a regra do corte simplifica bastante as provas em seu cálculo de sequentes. Com a finalidade de atenuar o número dos diversos casos, desenvolvemos várias táticas em Coq que nos permite realizar operações semiautomáticas.