A STUDY ON π IN P-METRICS: SIMMETRIES IN CONJUGATED EXPONENTS AND GLOBAL EXTREMA
Autor(a) principal: | |
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Data de Publicação: | 2022 |
Outros Autores: | , , |
Tipo de documento: | Artigo |
Idioma: | por |
Título da fonte: | Revista Sergipana de Matemática e Educação Matemática |
Texto Completo: | https://seer.ufs.br/index.php/ReviSe/article/view/16248 |
Resumo: | Neste trabalho, apresentamos inicialmente um contexto histórico de aproximações de $\pi$ até encontrar o valor de 3,1415..., que é o conhecido na métrica euclidiana. Generalizando essa métrica, obtemos a $p$-métrica, que, para $p \ge 1$, será o conjunto de métricas utilizado nesse estudo. Neste conjunto, demonstramos que o valor de $\pi$ na $p$-métrica, denotado por $\pi_p$, assume mínimo global para $p=2$ e máximo global quando $p = 1$ ou $p \rightarrow \infty$. Para apresentar esse resultado fazemos uso de ferramentas e técnicas do cálculo integral, assim como duas funções, as funções Beta e Gama, na criação de uma função para aproximação de $\pi_p$, a qual chamamos de $\Pi_p$. Além da minimalidade e maximalidade de $\pi_p$, também provamos uma propriedade que ocorre para $\pi$ nesse conjunto de métricas, mostrando que há uma noção de simetria que ocorre nos valores de $\pi_p$ e $\pi_q$ quando $p$ e $q$ são expoentes conjugados, ou seja, $\frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1$. Nessa situação os valores de $\pi_p$ e $\pi_q$ coincidem. Observamos que, ao alterar o valor de $p$, construímos novos valores para $\pi$ e as noções geométricas também acompanham essa alteração. Mostramos, por fim, como construir as figuras geométricas desenvolvidas neste estudo utilizando o GeoGebra. |
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A STUDY ON π IN P-METRICS: SIMMETRIES IN CONJUGATED EXPONENTS AND GLOBAL EXTREMAUM ESTUDO SOBRE O π NAS P-MÉRICAS: SIMETRIAS EM EXPOENTES CONJUGADOS E EXTREMOS GLOBAISNeste trabalho, apresentamos inicialmente um contexto histórico de aproximações de $\pi$ até encontrar o valor de 3,1415..., que é o conhecido na métrica euclidiana. Generalizando essa métrica, obtemos a $p$-métrica, que, para $p \ge 1$, será o conjunto de métricas utilizado nesse estudo. Neste conjunto, demonstramos que o valor de $\pi$ na $p$-métrica, denotado por $\pi_p$, assume mínimo global para $p=2$ e máximo global quando $p = 1$ ou $p \rightarrow \infty$. Para apresentar esse resultado fazemos uso de ferramentas e técnicas do cálculo integral, assim como duas funções, as funções Beta e Gama, na criação de uma função para aproximação de $\pi_p$, a qual chamamos de $\Pi_p$. Além da minimalidade e maximalidade de $\pi_p$, também provamos uma propriedade que ocorre para $\pi$ nesse conjunto de métricas, mostrando que há uma noção de simetria que ocorre nos valores de $\pi_p$ e $\pi_q$ quando $p$ e $q$ são expoentes conjugados, ou seja, $\frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1$. Nessa situação os valores de $\pi_p$ e $\pi_q$ coincidem. Observamos que, ao alterar o valor de $p$, construímos novos valores para $\pi$ e as noções geométricas também acompanham essa alteração. Mostramos, por fim, como construir as figuras geométricas desenvolvidas neste estudo utilizando o GeoGebra.This work provides, initially, a historical context of approximations of $\pi$ until the value of $3,1415\ldots$ is found, which corresponds to the Euclidian metric. Generalizing this metric for a real value $p$, we can obtain the $p$-metric, which, for $p \geq 1$, gives the set of metrics used in this paper. For this set, we show that the value of $\pi$ in the $p$-metric, denoted by $\pi_p$, attains its global minimum at $p = 2$ and global maxima for $p=1$ or $p \rightarrow \infty$. In order to present this result we make use of tools and techniques from integral calculus, as well as two particular functions, the Beta and Gamma functions, in the creation of a function to approximate $\pi_p$, which will be called $\Pi_p$. Beyond the minimality and maximality of $\pi_p$, we also prove a property of $\pi$ in this set of metrics, which is a notion of symmetry in the values of $\pi_p$ and $\pi_q$ when $p$ and $q$ are conjugated exponents, i.e., $\frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1$. In this situation the values of $\pi_p$ and $\pi_q$ coincide. We observe that, when altering the value of $p$, we get new values for $\pi$ and all the geometric notions that accompany this change. At last, we show how to construct the geometric figures developed in this work in GeoGebra.Universidade Federal de Sergipe2022-11-14info:eu-repo/semantics/articleinfo:eu-repo/semantics/publishedVersionapplication/pdfhttps://seer.ufs.br/index.php/ReviSe/article/view/1624810.34179/revisem.v7i2.16248Revista Sergipana de Matemática e Educação Matemática; v. 7 n. 2 (2022): Revista Sergipana de Matemática e Educação Matemática; 165-195Revista Sergipana de Matemática e Educação Matemática; Vol. 7 No. 2 (2022): Revista Sergipana de Matemática e Educação Matemática; 165-195Revista Sergipana de Matemática e Educação Matemática; Vol. 7 Núm. 2 (2022): Revista Sergipana de Matemática e Educação Matemática; 165-195Revista Sergipana de Matemática e Educação Matemática; Vol. 7 No. 2 (2022): Revista Sergipana de Matemática e Educação Matemática; 165-1952525-5444reponame:Revista Sergipana de Matemática e Educação Matemáticainstname:Universidade Federal de Sergipe (UFS)instacron:UFSporhttps://seer.ufs.br/index.php/ReviSe/article/view/16248/13175Copyright (c) 2022 Letianne Alves, Adiel da Silva, Thiago Tanaka, João Gondimhttps://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0info:eu-repo/semantics/openAccessAlves, Letianneda Silva, AdielTanaka, ThiagoGondim, João2022-11-22T14:08:36Zoai:ojs.seer.ufs.br:article/16248Revistahttps://seer.ufs.br/index.php/ReviSe/oai2525-54442525-5444opendoar:2022-11-22T14:08:36Revista Sergipana de Matemática e Educação Matemática - Universidade Federal de Sergipe (UFS)false |
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Neste trabalho, apresentamos inicialmente um contexto histórico de aproximações de $\pi$ até encontrar o valor de 3,1415..., que é o conhecido na métrica euclidiana. Generalizando essa métrica, obtemos a $p$-métrica, que, para $p \ge 1$, será o conjunto de métricas utilizado nesse estudo. Neste conjunto, demonstramos que o valor de $\pi$ na $p$-métrica, denotado por $\pi_p$, assume mínimo global para $p=2$ e máximo global quando $p = 1$ ou $p \rightarrow \infty$. Para apresentar esse resultado fazemos uso de ferramentas e técnicas do cálculo integral, assim como duas funções, as funções Beta e Gama, na criação de uma função para aproximação de $\pi_p$, a qual chamamos de $\Pi_p$. Além da minimalidade e maximalidade de $\pi_p$, também provamos uma propriedade que ocorre para $\pi$ nesse conjunto de métricas, mostrando que há uma noção de simetria que ocorre nos valores de $\pi_p$ e $\pi_q$ quando $p$ e $q$ são expoentes conjugados, ou seja, $\frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1$. Nessa situação os valores de $\pi_p$ e $\pi_q$ coincidem. Observamos que, ao alterar o valor de $p$, construímos novos valores para $\pi$ e as noções geométricas também acompanham essa alteração. Mostramos, por fim, como construir as figuras geométricas desenvolvidas neste estudo utilizando o GeoGebra. |
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