Redes de sistemas dinâmicos acoplados com estrutura gradiente ou hamiltoniana

• Autor(a) principal: Melo Junior, Antonio Edimar De [UNIFESP]
• Data de Publicação: 2020
• Tipo de documento: Dissertação
• Idioma: por
• Título da fonte: Repositório Institucional da UNIFESP
• Texto Completo: https://sucupira.capes.gov.br/sucupira/public/consultas/coleta/trabalhoConclusao/viewTrabalhoConclusao.jsf?popup=true&id_trabalho=10031052; https://repositorio.unifesp.br/xmlui/handle/11600/64908
• topic: Redes Acopladas; Hamiltoniano; Gradiente; Bifurcação Local; Dinâmica; Equilíbrio; Coupled Networks; Hamiltonian; Gradient; Local Bifurcation; Dynamics; Equilibrium

Uma recente generalização da noção de simetria vinda da teoria de grupos substitui as simetrias globais por bijeções entre certos subconjuntos do dígrafo de uma rede, os “conjuntos de entradas”. Um grupo de simetria se torna um grupoide e esse formalismo torna possível estender os métodos da teoria de grupos a redes mais gerais e, em particular, leva a uma classificação de padrões de sincronia em termos da estrutura da rede. Uma rede de sistemas dinâmicos é equipada com um conjunto canônico de observáveis para os estados de seus nós individuais. Além disso, a forma da ODE subjacente é limitada pela topologia da rede e como essas equações se relacionam. Para os sistemas acoplados associados a uma rede, pode haver espaços fluxo-invariantes (subespaços de sincronia onde alguns subsistemas evoluem de forma síncrona), cuja existência é independente das equações do sistema e depende apenas da topologia da rede. Em adição, qualquer sistema acoplado da rede, quando restrito a esse subespaço de sincronia, determina um novo sistema acoplado associado a uma rede menor (quociente). Uma rede regular é uma rede com um tipo de nó e um tipo de acoplamento. Mostramos condições para uma bifurcação de codimensão 1 de uma rede regular oriunda de um equilı́brio sı́ncrono em nı́vel linear ser isomorfa a um autoespaço generalizado da matriz de adjacência da rede. Em seguida, focamos em sistemas de células acopladas, nos quais células individuais também são gradientes ou hamiltonianas. Em termos gerais, provamos que apenas sistemas com dígrafos acoplados bidirecionalmente podem ser do tipo gradiente ou hamiltoniano. Caracterizamos condições para que a propriedade de um sistema acoplado ser gradiente ou hamiltoniano seja preservada pelo sistema acoplado “quociente”. Além dos critérios topológicos, também estudamos a teoria linear de redes regulares de sistemas de células acopladas do tipo gradiente (hamiltoniano). Em seguida, provamos resultados em bifurcações de estado estacionário e uma versão do Lema de Ramificação Equivariante e do Teorema de Hopf Equivariante. Ilustramos uma rede neural fornecida por dois conjuntos de neurônios que são mutuamente acoplados por sinapses excitatórias ou inibitórias, modelados por um sistema acoplado que exibe estruturas gradiente e Hamiltoniana.