On isoparametric hypersurfaces in 4-dimensional product spaces
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| Data de Publicação: | 2023 |
| Tipo de documento: | Tese |
| Idioma: | eng |
| Título da fonte: | Repositório Institucional da UnB |
| Texto Completo: | http://repositorio2.unb.br/jspui/handle/10482/49630 |
Resumo: | Tese (doutorado) — Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2023. |
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On isoparametric hypersurfaces in 4-dimensional product spacesHipersuperfícies (Matemática)Curvatura médiaTese (doutorado) — Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2023.Neste trabalho, estudamos hipersuperfícies isoparamétricas em variedadesproduto de dimensão 4. Primeiramente, caracterizamos e classificamos as hipersuperfíciesisoparamétricas com curvaturas principais constantes nos espaços produto Q c1 x Q c2 , emque Q ci é uma forma espacial com curvatura seccional constante ci, para ci {-1,0,1} e c1 c2.Mostramos que tais hipersuperfícies são dadas por conjuntos abertos de umahipersuperfície produto, em que um dos fatores é uma curva de curvatura constante, ou deuma estrutura diagonal em H 2 x R 2 , construída a partir de horocírculos em H 2 e retas em R 2 .Em seguida, classificamos as hipersuperfícies em Q 3 x R que possuem as três curvaturasprincipais constantes distintas, em que neste caso . Mostramos que tais hipersuperfíciessão cilindros sobre superfícies isoparamétricas de Q 3 com duas curvaturas principaisdistintas e não-nulas. Também provamos que as hipersuperfícies com curvaturas principaisconstantes em Q 3 x R são isoparamétricas. Além disso, fornecemos uma condiçãonecessária e suficiente para uma hipersuperfície isoparamétrica em Q 3 x R ter curvaturasprincipais constantes.Finalmente, descrevemos a evolução pelo fluxo da curvatura média de hipersuperfíciesisoparamétricas em variedades produto de dimensão 4. Mostramos que a evolução dehipersuperfícies isoparamétricas de variedades Riemannianas pelo fluxo da curvatura médiaé dada por uma reparametrização do fluxo por hipersuperfícies paralelas em um curtoespaço de tempo, desde que a unicidade do fluxo de curvatura média seja válida para osdados iniciais e o espaço ambiente correspondente. Através deste resultado, descrevemosa evolução das hipersuperfícies classificadas na primeira e segunda partes do trabalho.Também descrevemos as evoluções de hipersuperfícies isoparamétricas em S 2 xS 2 e H 2 xH 2 ,classificadas por Urbano (2019) e Dong Gao, Hui Ma e Zeke Yao (2022), respectivamente,e das hipersuperfícies isoparamétricas em Q 3 x R com g curvaturas principais constantesdistintas, g {1,2}, classificadas por Chaves e Santos (2019).Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) e Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq).In this work, we study isoparametric hypersurfaces in product manifolds of dimension 4. First of all, we characterize and classify the isoparametric hypersurfaces with constant principal curvatures in the product spaces Q2 c1×Q2 c2 , where Q2 ci is a space form with constant sectional curvature ci , for ci ∈ {−1, 0, 1} and c1 ̸= c2. We show that such hypersurfaces are given as open subsets of either a product hypersurface, where one factor is a curve of constant curvature, or a diagonal structure in H2 × R 2 , constructed from horocycles in H2 and straight lines in R 2 . Next, we classify the hypersurfaces in Q3 ε × R with the three distinct constant principal curvatures, where in this case ε ∈ {−1, 1}. We show that such hypersurfaces are cylinders over isoparametric surfaces of Q3 ε with two non-null distinct principal curvatures. We also prove that the hypersurfaces with constant principal curvatures in Q3 ε × R are isoparametric. Furthermore, we provide a necessary and su cient condition for an isoparametric hypersurface on Q3 ε × R to have constant principal curvatures. Finally, we describe the evolution by the mean curvature ow of isoparametric hypersurfaces in product manifolds of dimension 4. We show that the evolution of isoparametric hypersurfaces of Riemannian manifolds by the mean curvature ow is given by a reparametrization of the ow by parallel hypersurfaces in a short time, as long as the uniqueness of the mean curvature ow holds for the initial data and the corresponding ambient space. Through this result, we describe the evolution of the hypersurfaces classi ed in the rst and second parts of the work. We also describe the evolutions of isoparametric hypersurfaces in S 2 × S 2 and H2 × H2 , classi ed by Urbano (2019) and Dong Gao, Hui Ma and Zeke Yao (2022), respectively, and of isoparametric hypersurfaces in Q3 ε × R with g distinct constant principal curvatures, g ∈ {1, 2}, classi ed by Chaves and Santos (2019).Instituto de Ciências Exatas (IE)Departamento de Matemática (IE MAT)Programa de Pós-Graduação em MatemáticaSantos, João Paulo dosSantos, João Batista Marques dos2024-08-07T13:55:39Z2024-08-07T13:55:39Z2024-08-072023-04-28info:eu-repo/semantics/publishedVersioninfo:eu-repo/semantics/doctoralThesisapplication/pdfSANTOS, João Batista Marques dos. On isoparametric hypersurfaces in 4-dimensional product spaces. 2023. 73 f. Tese (Doutorado em Matemática) — Universidade de Brasília, Brasília, 2023.http://repositorio2.unb.br/jspui/handle/10482/49630engA concessão da licença deste item refere-se ao termo de autorização impresso assinado pelo autor com as seguintes condições: Na qualidade de titular dos direitos de autor da publicação, autorizo a Universidade de Brasília e o IBICT a disponibilizar por meio dos sites www.bce.unb.br, www.ibict.br, http://hercules.vtls.com/cgi-bin/ndltd/chameleon?lng=pt&skin=ndltd sem ressarcimento dos direitos autorais, de acordo com a Lei nº 9610/98, o texto integral da obra disponibilizada, conforme permissões assinaladas, para fins de leitura, impressão e/ou download, a título de divulgação da produção científica brasileira, a partir desta data.info:eu-repo/semantics/openAccessreponame:Repositório Institucional da UnBinstname:Universidade de Brasília (UnB)instacron:UNB2024-08-07T13:55:39Zoai:repositorio.unb.br:10482/49630Repositório InstitucionalPUBhttps://repositorio.unb.br/oai/requestrepositorio@unb.bropendoar:2024-08-07T13:55:39Repositório Institucional da UnB - Universidade de Brasília (UnB)false |
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