Terceira homologia de extensões centrais perfeitas
| Autor(a) principal: | |
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| Data de Publicação: | 2021 |
| Tipo de documento: | Tese |
| Idioma: | por |
| Título da fonte: | Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da USP |
| Texto Completo: | https://www.teses.usp.br/teses/disponiveis/55/55135/tde-08092021-102240/ |
Resumo: | Os grupos de homologia (e cohomologia) associados a um grupo são invariantes algébricos importantes do grupo. Infelizmente, em muitos casos importantes, esses grupos são muito complicados para serem calculados explicitamente. Devido a isso, os resultados que permitem comparar os grupos de (co)homologia para grupos diferentes tornam-se muito importantes. O interesse neste problema vem da K-teoria algébrica e do estudo dos K-grupos associados num anel, devido à existência de vários tipos de extensões centrais universais na K-teoria algébrica. Nesta tese, estudamos tais homomorfismos para os terceiros grupos de homologia de uma extensão central perfeita. Uma extensão central A → G → Q é chamada de perfeita se G é um grupo perfeito, ou seja, se G = [G, G]. Mais especificamente, estudamos os homomorfismos H3(A,Z) → H3(G,Z) e H3(G,Z) → H3(Q,Z), desde que A ⊆ G\'. Mostramos que se A é um subgrupo central de um grupo G tal que A ⊆ G\', por exemplo se G é um grupo perfeito, então a imagem do homomorfismo H3(A,Z) → H3(G,Z) / ρ* (A ⊗Z H2(G,Z)) é 2-torção, onde ρ : A x G → G é o produto usual. Em particular, se A → G → Q é uma extensão central universal, então a imagem de H3(A,Z) em H3</sub (G,Z) é 2-torção. Além disso, se A → G → Q é uma extensão central perfeita, tal que K(Q;1)+, a construção soma do espaço classificante de Q, é um H-espaço, então mostramos a existência da sequência exata A / 2 → H3(G,Z) / ρ* (A ⊗Z H2(G,Z) → H3(Q,Z) → 0. Nessas hipóteses, mostramos que o homomorfismo H3(A,Z) → H3(G,Z) / ρ* (A ⊗z H2(G,Z)) é trivial. Em particular, se a extensão central for universal, então a imagem de H3(A,Z) em H3(G,Z) também é trivial. Finalmente, mostramos a existência de um homomorfismo natural φ : H1(∑ε2, Tor1Z (2∞A, 2∞A)) → H3(G,Z) /ρ* (A ⊗Z H2(G,Z)) tal que a imagem de φ coincide com a imagem de H3(A,Z) em H3(G,Z) / ρ* (A ⊗Z H2(G,Z)), onde 2∞A é o subgrupo de torção de potências de 2 em A, ∑2:{id, σε} é o grupo simétrico com dois elementos e σε sendo a involução em Tor1Z(2∞A, 2∞A) induzida pela involução A x A → A x A, (a,b) → (b;a). |
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Terceira homologia de extensões centrais perfeitasThird homology of perfect central extensionsExtensões centrais perfeitasExtensões centrais universaisHomologia integral de gruposIntegral homology of groupsPerfect central extensionsUniversal central extensionsOs grupos de homologia (e cohomologia) associados a um grupo são invariantes algébricos importantes do grupo. Infelizmente, em muitos casos importantes, esses grupos são muito complicados para serem calculados explicitamente. Devido a isso, os resultados que permitem comparar os grupos de (co)homologia para grupos diferentes tornam-se muito importantes. O interesse neste problema vem da K-teoria algébrica e do estudo dos K-grupos associados num anel, devido à existência de vários tipos de extensões centrais universais na K-teoria algébrica. Nesta tese, estudamos tais homomorfismos para os terceiros grupos de homologia de uma extensão central perfeita. Uma extensão central A → G → Q é chamada de perfeita se G é um grupo perfeito, ou seja, se G = [G, G]. Mais especificamente, estudamos os homomorfismos H3(A,Z) → H3(G,Z) e H3(G,Z) → H3(Q,Z), desde que A ⊆ G\'. Mostramos que se A é um subgrupo central de um grupo G tal que A ⊆ G\', por exemplo se G é um grupo perfeito, então a imagem do homomorfismo H3(A,Z) → H3(G,Z) / ρ* (A ⊗Z H2(G,Z)) é 2-torção, onde ρ : A x G → G é o produto usual. Em particular, se A → G → Q é uma extensão central universal, então a imagem de H3(A,Z) em H3</sub (G,Z) é 2-torção. Além disso, se A → G → Q é uma extensão central perfeita, tal que K(Q;1)+, a construção soma do espaço classificante de Q, é um H-espaço, então mostramos a existência da sequência exata A / 2 → H3(G,Z) / ρ* (A ⊗Z H2(G,Z) → H3(Q,Z) → 0. Nessas hipóteses, mostramos que o homomorfismo H3(A,Z) → H3(G,Z) / ρ* (A ⊗z H2(G,Z)) é trivial. Em particular, se a extensão central for universal, então a imagem de H3(A,Z) em H3(G,Z) também é trivial. Finalmente, mostramos a existência de um homomorfismo natural φ : H1(∑ε2, Tor1Z (2∞A, 2∞A)) → H3(G,Z) /ρ* (A ⊗Z H2(G,Z)) tal que a imagem de φ coincide com a imagem de H3(A,Z) em H3(G,Z) / ρ* (A ⊗Z H2(G,Z)), onde 2∞A é o subgrupo de torção de potências de 2 em A, ∑2:{id, σε} é o grupo simétrico com dois elementos e σε sendo a involução em Tor1Z(2∞A, 2∞A) induzida pela involução A x A → A x A, (a,b) → (b;a).The homology (and cohomology) groups associated to a group G are important algebraic invariants of G. Unfortunately, in many important cases these (co)homology groups are too complicated to be computed explicitly. Therefore in many cases results allowing to compare the homology groups for different groups become quite important. The interest to this problem comes from algebraic K-theory and the study of K-groups of a ring where various type of universal central extensions appears. Here, we also study such homomorphism for the third homology groups of a perfect central extension. A central extension A → G → Q is called perfect if G is a perfect group, i.e. if G = [G,G]. Here we study the maps H3(A,Z) → H3(G,Z) and H3(G,Z) → H3(Q,Z) for such extensions provided that A ⊆ G\'0. In this thesis, we show that if A is a central subgroup of a group G such that A ⊆ G\' e.g. when G is a perfect group, then the image of the natural map H3(A,Z) → H3(G,Z) / ρ*(A⊗Z H2(G,Z)) is 2-torsion, where ρ : A x G → G is the usual product map. In particular if A → G → Q is a universal central extension, then the image of H3(A,,Z) in H3(G, ,Z) is 2-torsion. Furthermore, if A → G → Q is a perfect central extension such that K(Q;1)+, the plusconstruction of the classifying space of Q, is an H-space, then we prove that there is the exact sequence A / 2 → H3(G,Z) / ρ*(A⊗Z H2(G,Z)) → H3(Q;Z) → 0. Moreover, we prove that with this extra condition, the map H3(A,Z) → H3(G;Z) / ρ*(A⊗Z H2(G,Z)) is trivial. In particular, if the extension is universal then the image of H3(A,Z) in H3(G,Z) is trivial. Finally, we show that there is a natural map φ : H1(∑ε2, Tor1Z (2∞A, 2∞A)) → H3(G,Z) / ρ*(A*otimes;Z H2 (G,Z)) such that the image of φ coincides with the natural image of H3(A,Z) in H3(G,Z) / ρ*(A⊗Z H2(G,Z)), where 2∞A is the 2-power torsion subgroup of A, ∑2 := {id; σε is the symmetric group with two elements and σε being the involution on Tor1Z (2∞A, 2∞) induced by the involution A x A → A x A, → (a,b) → (b,a).Biblioteca Digitais de Teses e Dissertações da USPMirzaii, BehroozOrdinola, David Martin Carbajal2021-05-27info:eu-repo/semantics/publishedVersioninfo:eu-repo/semantics/doctoralThesisapplication/pdfhttps://www.teses.usp.br/teses/disponiveis/55/55135/tde-08092021-102240/reponame:Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da USPinstname:Universidade de São Paulo (USP)instacron:USPLiberar o conteúdo para acesso público.info:eu-repo/semantics/openAccesspor2021-09-09T13:34:02Zoai:teses.usp.br:tde-08092021-102240Biblioteca Digital de Teses e Dissertaçõeshttp://www.teses.usp.br/PUBhttp://www.teses.usp.br/cgi-bin/mtd2br.plvirginia@if.usp.br|| atendimento@aguia.usp.br||virginia@if.usp.bropendoar:27212021-09-09T13:34:02Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da USP - Universidade de São Paulo (USP)false |
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Os grupos de homologia (e cohomologia) associados a um grupo são invariantes algébricos importantes do grupo. Infelizmente, em muitos casos importantes, esses grupos são muito complicados para serem calculados explicitamente. Devido a isso, os resultados que permitem comparar os grupos de (co)homologia para grupos diferentes tornam-se muito importantes. O interesse neste problema vem da K-teoria algébrica e do estudo dos K-grupos associados num anel, devido à existência de vários tipos de extensões centrais universais na K-teoria algébrica. Nesta tese, estudamos tais homomorfismos para os terceiros grupos de homologia de uma extensão central perfeita. Uma extensão central A → G → Q é chamada de perfeita se G é um grupo perfeito, ou seja, se G = [G, G]. Mais especificamente, estudamos os homomorfismos H3(A,Z) → H3(G,Z) e H3(G,Z) → H3(Q,Z), desde que A ⊆ G\'. Mostramos que se A é um subgrupo central de um grupo G tal que A ⊆ G\', por exemplo se G é um grupo perfeito, então a imagem do homomorfismo H3(A,Z) → H3(G,Z) / ρ* (A ⊗Z H2(G,Z)) é 2-torção, onde ρ : A x G → G é o produto usual. Em particular, se A → G → Q é uma extensão central universal, então a imagem de H3(A,Z) em H3</sub (G,Z) é 2-torção. Além disso, se A → G → Q é uma extensão central perfeita, tal que K(Q;1)+, a construção soma do espaço classificante de Q, é um H-espaço, então mostramos a existência da sequência exata A / 2 → H3(G,Z) / ρ* (A ⊗Z H2(G,Z) → H3(Q,Z) → 0. Nessas hipóteses, mostramos que o homomorfismo H3(A,Z) → H3(G,Z) / ρ* (A ⊗z H2(G,Z)) é trivial. Em particular, se a extensão central for universal, então a imagem de H3(A,Z) em H3(G,Z) também é trivial. Finalmente, mostramos a existência de um homomorfismo natural φ : H1(∑ε2, Tor1Z (2∞A, 2∞A)) → H3(G,Z) /ρ* (A ⊗Z H2(G,Z)) tal que a imagem de φ coincide com a imagem de H3(A,Z) em H3(G,Z) / ρ* (A ⊗Z H2(G,Z)), onde 2∞A é o subgrupo de torção de potências de 2 em A, ∑2:{id, σε} é o grupo simétrico com dois elementos e σε sendo a involução em Tor1Z(2∞A, 2∞A) induzida pela involução A x A → A x A, (a,b) → (b;a). |
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