Convexidade e finitude do número de geodésicas em variedades pseudo-Riemannianas: aplicações à teoria de relatividade geral

• Autor(a) principal: Sousa Filho, Jaime Sodré
• Data de Publicação: 2001
• Tipo de documento: Dissertação
• Idioma: por
• Título da fonte: Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da USP
• Texto Completo: https://teses.usp.br/teses/disponiveis/45/45131/tde-20210729-124634/
• topic: Geometria Diferencial

De acordo com a relatividade geral, raios de luz sofrem uma deflexão ao passar por um corpo maciço denso. Dependendo das circunstâncias, pode ocorrer de um observador ver duas ou mais imagens de uma fonte de luz distante de sua esfera celeste. Este é o assim chamado efeito de lente gravitacional com multiplicidade de imagens. Motivado por tal interesse físico, nesta tese estudamos alguns modelos matemáticos relativamente simples de espaços-tempos ralativísticos, embora relevantes, variedades lorentzianas conformemente estacionárias, e fornecemos alguns resultados qualitativos sobre o número de imagens observadas em uma situação de lente gravitacional. Um problema natural para os astrofísicos é o da contagem do número de imagens que podem ser observadas em uma situação de lente gravitacional. Em terminologia matemática, uma situação de lente gravitacional pode ser modelada do seguinte modo. Consideramos uma variedade lorentziana (M, g) como modelo matemático para um espaço-tempo, fixamos uma curva temporal y como linha de mundo de uma fonte de luz, e um ponto p onde ocorre uma observação. Agora, o número de imagens vistas por um observador é igual ao número de segmentos geodésicos do tipo nulo que apontem para o futuro e que liguem y a p. Quando quer que haja dois ou mais de tais segmentos geodésicos, estamos numa situação de lente gravitacional com multiplicidade. Deste ponto de vista, pode-se perguntar se existem algumas propriedades topológicas e métricas de um espaço-tempo que garantam a finitude do número de imagens observadas no caso não-conjugado. Nesta tese é provado que se uma variedade riemanniana admitir uma função estritamente convexa, então o número de segmentos geodésicos que liguem dois pontos não-conjugados é finito. Nesta tese, introduzimos o conceito de função estritamente convexa do tipo nulo, damos alguns exemplos de variedades estacionárias e estáticas que admitem este tipo de função, ) e provamos que a existência de função estritamente convexa do tipo nulo implica a finitude do número de segmentos geodésicos do tipo nulo que apontem para o futuro e que liguem p e y