Problemas de sincronismo em uma família de campos vetoriais

• Autor(a) principal: Megale, Jerusa Mendonça
• Data de Publicação: 2020
• Tipo de documento: Tese
• Idioma: por
• Título da fonte: Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da USP
• Texto Completo: https://www.teses.usp.br/teses/disponiveis/45/45132/tde-11012021-142031/
• topic: Campo de vetores equações de Hill; Equações de segunda ordem; Hill equations; Second order equations; Sincronismo; Synchronism; Vector fields

Esta tese é dedicada ao estudo de sistemas de forças quase-centrais tais que as funções f e g dependem apenas da variável x, isto é, x \'\'= -xf(x); y \'\'=-yg(x); f; g de classe C^{\\omega} Fixada f encontramos condições sobre g para existir \\delta > 0 tal que, as soluções do sistema com condições inicias x(0) = x\'(0); = 0; y(0) = y_0; y\'_(0) = y_0 sejam periódicas de menor período \\tau (x_0); para todo (x_0; y_0; y\'_0) = 0 com 0 0 <=x0 < \\delta; em que \\tau (x0) é o menor período da solução da primeira equação do sistema com condições iniciais x(0) = x_0; x\'_ (0) = 0: Denotamos esse fenômeno por \\tau (x0)-isocronismo. Mostramos que a existência de g satisfazendo essa propriedade é determinada pelo jato de ordem2 de f em 0. Nosso resultado principal estabelece que para f analítica real, definida e positiva numa vizinhança da origem, I, com f(0) = 1 e satisfazendo 3f\'\'(0) > 4f\'(0)² existem no máximo duas funções g; analíticas reais, definidas e positivas em I, tal que o sistema possui \\tau(x0)-isocronismo. Além disso, exibimos como será o resultado em série de potências das g com essa propriedade, isso permite determinar explicitamente os possíveis jatos de ordem k de g em 0. Esses ficam completamentedeterminados por j^(k)g(0) e j^(k+1)f(0): Quando 3f\'\'(0) = 4f\'(0)² não se tem o mesmo tipo de resultado, pois o sistema é degenerado. Neste caso, conseguimos determinar apenas os jatos pares de g em 0. O caso f = g está contido nessa classe de sistemas. Para 3f\'\'(0) < 4f\'(0)^2 mostramos que não existe g analítica real tal que o sistema possui \\tau (x0)- isocronismo.