Frações contínuas: fundamentação teórica e possíveis abordagens na Educação Básica

• Autor(a) principal: Paulino, Raimundo Aguinaldo Freire
• Data de Publicação: 2020
• Tipo de documento: Dissertação
• Idioma: por
• Título da fonte: Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da USP
• Texto Completo: https://www.teses.usp.br/teses/disponiveis/55/55136/tde-30092020-161650/
• topic: Continued Fractions; Convergentes; Convergents; Equações diofantinas lineares com duas incógnitas e equações de Pell; Frações contínuas; Irracionais quadráticos; Números racionais; Quadratic Irrationals; Rational Numbers; Two-Unknown Linear Diophantine Equations and Pell Equations

Esta dissertação foi elaborada a partir de revisão literária e o seu tema central é a teoria elementar das frações contínuas simples e os seus aspectos de aproximação, na perspectiva de possíveis abordagens na Educação Básica. As frações contínuas são mais que uma forma diferente de representação numérica, permitem explorar novas ideias e propriedades matemáticas e, obter sequências de aproximações racionais para números irracionais, possibilitando, no ciclo básico, uma significação mais efetiva dos números reais. Das relações entre os convergentes das frações contínuas simples obtemos os resultados mais significativos à compreensão do tema e necessários ao estabelecimento de métodos de aproximações racionais para números irracionais e, à comprovação de que as melhores aproximações racionais para números irracionais vêm das frações contínuas simples. Decorre desses aspectos de convergência que as frações contínuas simples constituem uma ferramenta alternativa para solucionar equações diofantinas lineares com duas incógnitas e desempenham um papel essencial na resolução da equação de Pell. Dedicaremos um capítulo à apresentação de um método alternativo que permite obter expansões, por frações contínuas, de números irracionais algébricos da forma n√ ym. Ao final deste capítulo, exibiremos algumas expansões clássicas para outros números irracionais, inclusive π e e. Finalizaremos o trabalho propondo uma sequência de atividades a serem desenvolvidas, em sala de aula, com alunos da Educação Básica.