Partições da Unidade flat-top e trigonométricas no Método dos Elementos Finitos Generalizados

• Autor(a) principal: Ramos, Caio Silva
• Data de Publicação: 2019
• Tipo de documento: Dissertação
• Idioma: por
• Título da fonte: Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da USP
• Texto Completo: http://www.teses.usp.br/teses/disponiveis/18/18134/tde-19062019-122126/
• topic: Generalized Finite Element Method; Método dos Elementos Finitos Generalizados; Número de Condição Escalonado; Partição da Unidade; Partition of Unity; Scaled Condition Number

Atualmente, no que concerne as problemáticas pertinentes à engenharia estrutural, o Método dos Elementos Finitos (MEF) é a principal ferramenta utilizada para obter soluções aproximadas de Problemas de Valor de Contorno (PVC). No entanto, tal metodologia exige um elevado custo computacional ao demandar malhas muito refinadas para solucionar problemas que apresentam singularidades, ou seja, que apresentam regiões onde ocorrem gradientes de deformação fortemente localizados. Para superar esse inconveniente, o Método dos Elementos Finitos Generalizados (MEFG) propõe a expansão do espaço de aproximação do MEF mediante a inserção de funções (conhecidas como funções de enriquecimento) que melhor representem localmente o comportamento da solução procurada. Tais funções podem apresentar características específicas ou mesmo serem geradas numericamente. Neste caso, dispensam-se malhas muito refinadas. Entretanto, o aumento do espaço de aproximação de modo irrestrito pode introduzir dependências lineares no sistema de equações do MEFG, tornando a solução obtida imprecisa ou mesmo impedindo a solução do sistema por métodos diretos. A chamada versão estável do MEFG explora uma modificação imposta às funções de enriquecimento a fim de melhorar o condicionamento da matriz de rigidez. Contudo, tal modificação não se configura como condição suficiente para garantir uma redução efetiva do número de condição. Neste trabalho, considera-se uma proposição recente para a modificação do espaço das funções de forma do MEFG associadas ao enriquecimento: trata-se do emprego de funções do tipo flat-top e trigonométricas como Partição da Unidade (PU), as quais são empregadas exclusivamente na construção das funções de forma enriquecidas (essas partições são definidas para elementos finitos quadrilaterais e triangulares). Exemplos numéricos são selecionados para evidenciar as vantagens dessas novas versões do MEFG em relação às anteriores e ao MEF convencional. Demonstra-se que tanto a PU flat-top quanto a PU trigonométrica, preservam as excelentes propriedades de convergência do MEFG. Além disso, mostra-se que o condicionamento da matriz de rigidez associada é próximo ao apresentado pelo MEF (uma vez que o enriquecimento, mesmo polinomial, não gera dependências) e que a formulação apresenta-se robusta na consideração de descontinuidades fortes.