Uma abordagem do ensino do cálculo com ordens de grandeza
Autor(a) principal: | |
---|---|
Data de Publicação: | 1999 |
Tipo de documento: | Dissertação |
Idioma: | por |
Título da fonte: | Repositório Científico de Acesso Aberto de Portugal (Repositórios Cientìficos) |
Texto Completo: | http://hdl.handle.net/10174/15451 |
Resumo: | As aulas de mestrado da cadeira de Análise Não-Standard, leccionada pelo Pr. A. J. Franco de Oliveira, foram o despertar do meu interesse pela Análise Não-Standard. Ao terminar a parte curricular do mestrado, falei com o Pr. A. J. Franco de Oliveira, e pedi-lhe que fosse ele a orientar a minha dissertação, pedido que foi aceite. Em diálogo com o meu orientador acerca das possibilidades de desenvolver a dissertação em Análise Não-Standard, ficou assente que nela seria apresentada a preparação de alguns conteúdos, adequados a um curso de uma disciplina de Análise Não-Standard. Esta aplicação poderia verificar-se, por exemplo, na leccionação da disciplina de Análise Não-Standard a alunos da licenciatura em Matemática, do 1° ou 2° anos, ou equivalente, no caso das licenciaturas em Engenharia ou Física. A dissertação teve como "fonte" principal o texto que serviu de base ao Curso de Análise Não-Standard leccionado por F. Diener e Gautheron, em Nice no ano de 1996. É composta por sete capítulos. O capítulo I refere-se aos conjuntos finitos e infinitos, à distinção de objectos matemáticos em standard e não-standard e às regras que governam o seu uso. O capítulo II é consagrado ao conjunto dos números reais, e nele são descritas as principais propriedades dos referidos números, mas o próprio conceito de número real subjacente tem propriedades e elementos novos, relativamente à Matemática clássica, que advém da distinção standard/não-standard no universo. De especial importância, em todo o cálculo, é o facto de esta distinção, standard/não standard, permitir introduzir diferentes ordens de grandeza dos números (noções como as de número infinitesimal, apreciável, infinitamente grande), e as regras para lidar com elas, nomeadamente as chamadas regras de Leibniz. No capítulo III estuda-se as sucessões. As derivadas fazem parte do capítulo IV, em que é definido o conceito de função de classe Cl, o que é a função inversa de uma função, e não é esquecida a observação de uma função à lupa; para finalizar o capítulo, são indicadas algumas aplicações das derivadas. As funções de várias variáveis são estudadas no capítulo V, considerando-se, na maior parte dos casos, funções de duas variáveis para melhor se visualizar as situações. O capítulo VI refere-se aos crescimentos limitados. Dele constam o enunciado e a demonstração do teorema dos acréscimos finitos, e as fórmulas de Taylor com uma e duas variáveis. Os integrais e as primitivas são estudados no último capítulo, onde se indica como calcular áreas aproximando-as por reuniões de rectângulos de áreas infinitesimais; estuda-se ainda a ligação entre o cálculo das primitivas e o das áreas. Apresentada a estrutura do trabalho, seguem algumas considerações que focam a Análise Não-Standard em si mesma, na sua história, e na sua integração no universo da Matemática, e consequente interesse pela sua aplicação ao ensino. A Análise Não-Standard é, antes de mais, um instrumento ao dispor dos matemáticos de qualquer denominação ou especialidade que, a cada área ou aplicação preferencial, pode trazer mais ou trazer menos, conforme o grau de investimento e utilização. Em certo sentido que pode ser precisado tecnicamente, a utilização dos infinitamente pequenos e dos infinitamente grandes actuais, em análise e noutras áreas matemáticas é, tão somente, uma mais sofisticada utilização de uma forma ou outra do Axioma da Escolha ou algo que se assemelha. Desde finais do século XIX, a linguagem da Matemática é a linguagem da teoria dos conjuntos, e a teoria "mãe de todas as teorias" matemáticas é a teoria dos conjuntos, na versão de Zermelo-Fraenkel, incluindo o Axioma da Escolha, ZFC. Nesta teoria há um único conceito primitivo, o de pertença ( E ). Por condescendência platonista, chamamos às variáveis x, y, z,,.,., X, Y, Z, ... conjuntos, e imaginamos que os axiomas ZFC descrevem um "universo" de conjuntos, suficientemente rico para que nele se representem como conjuntos os objectos matemáticos habituais (números, relações, funções, espaços, estruturas, etc.) e as demonstrações habituais nas diferentes disciplinas matemáticas. Sempre que conveniente, a linguagem primitiva é enriquecida com novos símbolos, por meio de definições: constantes, isto é, símbolos que denotam conjuntos particulares como 0, 2, N, R2; símbolos relacionais ou predicativos, que denotam relações no universo, como as primitivas = , E e as relações de inclusão C , Ç ; símbolos funcionais ou operacionais, que denotam operações no universo como o U , n , x , etc. É importante saber que a prática matemática corrente se pode formalizar em ZFC. Essa prática não vai sofrer qualquer alteração na Matemática Não-Standard, excepto no sentido de um duplo enriquecimento. No final dos anos setenta surgiu uma axiomatização devido a E. Nelson, que toma como ponto de partida a teoria ZFC, na linguagem respectiva. A linguagem desta teoria (que é, em boa aproximação, a linguagem do discurso matemático tradicional), junta um novo predicado primitivo unário: "standard". Quer dizer, no universo dos objectos matemáticos (conjuntos) usuais (números, funções, espaços, etc.), distinguimos, por meio do novo conceito, os que são standard e os que o não são. |
id |
RCAP_0b6ba49b32439c922dc245a16b9bb1c6 |
---|---|
oai_identifier_str |
oai:dspace.uevora.pt:10174/15451 |
network_acronym_str |
RCAP |
network_name_str |
Repositório Científico de Acesso Aberto de Portugal (Repositórios Cientìficos) |
repository_id_str |
7160 |
spelling |
Uma abordagem do ensino do cálculo com ordens de grandezaEnsino do cálculoOrdens de grandezaAs aulas de mestrado da cadeira de Análise Não-Standard, leccionada pelo Pr. A. J. Franco de Oliveira, foram o despertar do meu interesse pela Análise Não-Standard. Ao terminar a parte curricular do mestrado, falei com o Pr. A. J. Franco de Oliveira, e pedi-lhe que fosse ele a orientar a minha dissertação, pedido que foi aceite. Em diálogo com o meu orientador acerca das possibilidades de desenvolver a dissertação em Análise Não-Standard, ficou assente que nela seria apresentada a preparação de alguns conteúdos, adequados a um curso de uma disciplina de Análise Não-Standard. Esta aplicação poderia verificar-se, por exemplo, na leccionação da disciplina de Análise Não-Standard a alunos da licenciatura em Matemática, do 1° ou 2° anos, ou equivalente, no caso das licenciaturas em Engenharia ou Física. A dissertação teve como "fonte" principal o texto que serviu de base ao Curso de Análise Não-Standard leccionado por F. Diener e Gautheron, em Nice no ano de 1996. É composta por sete capítulos. O capítulo I refere-se aos conjuntos finitos e infinitos, à distinção de objectos matemáticos em standard e não-standard e às regras que governam o seu uso. O capítulo II é consagrado ao conjunto dos números reais, e nele são descritas as principais propriedades dos referidos números, mas o próprio conceito de número real subjacente tem propriedades e elementos novos, relativamente à Matemática clássica, que advém da distinção standard/não-standard no universo. De especial importância, em todo o cálculo, é o facto de esta distinção, standard/não standard, permitir introduzir diferentes ordens de grandeza dos números (noções como as de número infinitesimal, apreciável, infinitamente grande), e as regras para lidar com elas, nomeadamente as chamadas regras de Leibniz. No capítulo III estuda-se as sucessões. As derivadas fazem parte do capítulo IV, em que é definido o conceito de função de classe Cl, o que é a função inversa de uma função, e não é esquecida a observação de uma função à lupa; para finalizar o capítulo, são indicadas algumas aplicações das derivadas. As funções de várias variáveis são estudadas no capítulo V, considerando-se, na maior parte dos casos, funções de duas variáveis para melhor se visualizar as situações. O capítulo VI refere-se aos crescimentos limitados. Dele constam o enunciado e a demonstração do teorema dos acréscimos finitos, e as fórmulas de Taylor com uma e duas variáveis. Os integrais e as primitivas são estudados no último capítulo, onde se indica como calcular áreas aproximando-as por reuniões de rectângulos de áreas infinitesimais; estuda-se ainda a ligação entre o cálculo das primitivas e o das áreas. Apresentada a estrutura do trabalho, seguem algumas considerações que focam a Análise Não-Standard em si mesma, na sua história, e na sua integração no universo da Matemática, e consequente interesse pela sua aplicação ao ensino. A Análise Não-Standard é, antes de mais, um instrumento ao dispor dos matemáticos de qualquer denominação ou especialidade que, a cada área ou aplicação preferencial, pode trazer mais ou trazer menos, conforme o grau de investimento e utilização. Em certo sentido que pode ser precisado tecnicamente, a utilização dos infinitamente pequenos e dos infinitamente grandes actuais, em análise e noutras áreas matemáticas é, tão somente, uma mais sofisticada utilização de uma forma ou outra do Axioma da Escolha ou algo que se assemelha. Desde finais do século XIX, a linguagem da Matemática é a linguagem da teoria dos conjuntos, e a teoria "mãe de todas as teorias" matemáticas é a teoria dos conjuntos, na versão de Zermelo-Fraenkel, incluindo o Axioma da Escolha, ZFC. Nesta teoria há um único conceito primitivo, o de pertença ( E ). Por condescendência platonista, chamamos às variáveis x, y, z,,.,., X, Y, Z, ... conjuntos, e imaginamos que os axiomas ZFC descrevem um "universo" de conjuntos, suficientemente rico para que nele se representem como conjuntos os objectos matemáticos habituais (números, relações, funções, espaços, estruturas, etc.) e as demonstrações habituais nas diferentes disciplinas matemáticas. Sempre que conveniente, a linguagem primitiva é enriquecida com novos símbolos, por meio de definições: constantes, isto é, símbolos que denotam conjuntos particulares como 0, 2, N, R2; símbolos relacionais ou predicativos, que denotam relações no universo, como as primitivas = , E e as relações de inclusão C , Ç ; símbolos funcionais ou operacionais, que denotam operações no universo como o U , n , x , etc. É importante saber que a prática matemática corrente se pode formalizar em ZFC. Essa prática não vai sofrer qualquer alteração na Matemática Não-Standard, excepto no sentido de um duplo enriquecimento. No final dos anos setenta surgiu uma axiomatização devido a E. Nelson, que toma como ponto de partida a teoria ZFC, na linguagem respectiva. A linguagem desta teoria (que é, em boa aproximação, a linguagem do discurso matemático tradicional), junta um novo predicado primitivo unário: "standard". Quer dizer, no universo dos objectos matemáticos (conjuntos) usuais (números, funções, espaços, etc.), distinguimos, por meio do novo conceito, os que são standard e os que o não são.Universidade de Évora2015-09-01T11:51:34Z2015-09-011999-01-01T00:00:00Zinfo:eu-repo/semantics/publishedVersioninfo:eu-repo/semantics/masterThesishttp://hdl.handle.net/10174/15451http://hdl.handle.net/10174/15451pordep C.T.teses@bib.uevora.pt337Reforço, Maria Domingas Sousainfo:eu-repo/semantics/openAccessreponame:Repositório Científico de Acesso Aberto de Portugal (Repositórios Cientìficos)instname:Agência para a Sociedade do Conhecimento (UMIC) - FCT - Sociedade da Informaçãoinstacron:RCAAP2024-01-03T19:00:46Zoai:dspace.uevora.pt:10174/15451Portal AgregadorONGhttps://www.rcaap.pt/oai/openaireopendoar:71602024-03-20T01:07:43.937060Repositório Científico de Acesso Aberto de Portugal (Repositórios Cientìficos) - Agência para a Sociedade do Conhecimento (UMIC) - FCT - Sociedade da Informaçãofalse |
dc.title.none.fl_str_mv |
Uma abordagem do ensino do cálculo com ordens de grandeza |
title |
Uma abordagem do ensino do cálculo com ordens de grandeza |
spellingShingle |
Uma abordagem do ensino do cálculo com ordens de grandeza Reforço, Maria Domingas Sousa Ensino do cálculo Ordens de grandeza |
title_short |
Uma abordagem do ensino do cálculo com ordens de grandeza |
title_full |
Uma abordagem do ensino do cálculo com ordens de grandeza |
title_fullStr |
Uma abordagem do ensino do cálculo com ordens de grandeza |
title_full_unstemmed |
Uma abordagem do ensino do cálculo com ordens de grandeza |
title_sort |
Uma abordagem do ensino do cálculo com ordens de grandeza |
author |
Reforço, Maria Domingas Sousa |
author_facet |
Reforço, Maria Domingas Sousa |
author_role |
author |
dc.contributor.author.fl_str_mv |
Reforço, Maria Domingas Sousa |
dc.subject.por.fl_str_mv |
Ensino do cálculo Ordens de grandeza |
topic |
Ensino do cálculo Ordens de grandeza |
description |
As aulas de mestrado da cadeira de Análise Não-Standard, leccionada pelo Pr. A. J. Franco de Oliveira, foram o despertar do meu interesse pela Análise Não-Standard. Ao terminar a parte curricular do mestrado, falei com o Pr. A. J. Franco de Oliveira, e pedi-lhe que fosse ele a orientar a minha dissertação, pedido que foi aceite. Em diálogo com o meu orientador acerca das possibilidades de desenvolver a dissertação em Análise Não-Standard, ficou assente que nela seria apresentada a preparação de alguns conteúdos, adequados a um curso de uma disciplina de Análise Não-Standard. Esta aplicação poderia verificar-se, por exemplo, na leccionação da disciplina de Análise Não-Standard a alunos da licenciatura em Matemática, do 1° ou 2° anos, ou equivalente, no caso das licenciaturas em Engenharia ou Física. A dissertação teve como "fonte" principal o texto que serviu de base ao Curso de Análise Não-Standard leccionado por F. Diener e Gautheron, em Nice no ano de 1996. É composta por sete capítulos. O capítulo I refere-se aos conjuntos finitos e infinitos, à distinção de objectos matemáticos em standard e não-standard e às regras que governam o seu uso. O capítulo II é consagrado ao conjunto dos números reais, e nele são descritas as principais propriedades dos referidos números, mas o próprio conceito de número real subjacente tem propriedades e elementos novos, relativamente à Matemática clássica, que advém da distinção standard/não-standard no universo. De especial importância, em todo o cálculo, é o facto de esta distinção, standard/não standard, permitir introduzir diferentes ordens de grandeza dos números (noções como as de número infinitesimal, apreciável, infinitamente grande), e as regras para lidar com elas, nomeadamente as chamadas regras de Leibniz. No capítulo III estuda-se as sucessões. As derivadas fazem parte do capítulo IV, em que é definido o conceito de função de classe Cl, o que é a função inversa de uma função, e não é esquecida a observação de uma função à lupa; para finalizar o capítulo, são indicadas algumas aplicações das derivadas. As funções de várias variáveis são estudadas no capítulo V, considerando-se, na maior parte dos casos, funções de duas variáveis para melhor se visualizar as situações. O capítulo VI refere-se aos crescimentos limitados. Dele constam o enunciado e a demonstração do teorema dos acréscimos finitos, e as fórmulas de Taylor com uma e duas variáveis. Os integrais e as primitivas são estudados no último capítulo, onde se indica como calcular áreas aproximando-as por reuniões de rectângulos de áreas infinitesimais; estuda-se ainda a ligação entre o cálculo das primitivas e o das áreas. Apresentada a estrutura do trabalho, seguem algumas considerações que focam a Análise Não-Standard em si mesma, na sua história, e na sua integração no universo da Matemática, e consequente interesse pela sua aplicação ao ensino. A Análise Não-Standard é, antes de mais, um instrumento ao dispor dos matemáticos de qualquer denominação ou especialidade que, a cada área ou aplicação preferencial, pode trazer mais ou trazer menos, conforme o grau de investimento e utilização. Em certo sentido que pode ser precisado tecnicamente, a utilização dos infinitamente pequenos e dos infinitamente grandes actuais, em análise e noutras áreas matemáticas é, tão somente, uma mais sofisticada utilização de uma forma ou outra do Axioma da Escolha ou algo que se assemelha. Desde finais do século XIX, a linguagem da Matemática é a linguagem da teoria dos conjuntos, e a teoria "mãe de todas as teorias" matemáticas é a teoria dos conjuntos, na versão de Zermelo-Fraenkel, incluindo o Axioma da Escolha, ZFC. Nesta teoria há um único conceito primitivo, o de pertença ( E ). Por condescendência platonista, chamamos às variáveis x, y, z,,.,., X, Y, Z, ... conjuntos, e imaginamos que os axiomas ZFC descrevem um "universo" de conjuntos, suficientemente rico para que nele se representem como conjuntos os objectos matemáticos habituais (números, relações, funções, espaços, estruturas, etc.) e as demonstrações habituais nas diferentes disciplinas matemáticas. Sempre que conveniente, a linguagem primitiva é enriquecida com novos símbolos, por meio de definições: constantes, isto é, símbolos que denotam conjuntos particulares como 0, 2, N, R2; símbolos relacionais ou predicativos, que denotam relações no universo, como as primitivas = , E e as relações de inclusão C , Ç ; símbolos funcionais ou operacionais, que denotam operações no universo como o U , n , x , etc. É importante saber que a prática matemática corrente se pode formalizar em ZFC. Essa prática não vai sofrer qualquer alteração na Matemática Não-Standard, excepto no sentido de um duplo enriquecimento. No final dos anos setenta surgiu uma axiomatização devido a E. Nelson, que toma como ponto de partida a teoria ZFC, na linguagem respectiva. A linguagem desta teoria (que é, em boa aproximação, a linguagem do discurso matemático tradicional), junta um novo predicado primitivo unário: "standard". Quer dizer, no universo dos objectos matemáticos (conjuntos) usuais (números, funções, espaços, etc.), distinguimos, por meio do novo conceito, os que são standard e os que o não são. |
publishDate |
1999 |
dc.date.none.fl_str_mv |
1999-01-01T00:00:00Z 2015-09-01T11:51:34Z 2015-09-01 |
dc.type.status.fl_str_mv |
info:eu-repo/semantics/publishedVersion |
dc.type.driver.fl_str_mv |
info:eu-repo/semantics/masterThesis |
format |
masterThesis |
status_str |
publishedVersion |
dc.identifier.uri.fl_str_mv |
http://hdl.handle.net/10174/15451 http://hdl.handle.net/10174/15451 |
url |
http://hdl.handle.net/10174/15451 |
dc.language.iso.fl_str_mv |
por |
language |
por |
dc.relation.none.fl_str_mv |
dep C.T. teses@bib.uevora.pt 337 |
dc.rights.driver.fl_str_mv |
info:eu-repo/semantics/openAccess |
eu_rights_str_mv |
openAccess |
dc.publisher.none.fl_str_mv |
Universidade de Évora |
publisher.none.fl_str_mv |
Universidade de Évora |
dc.source.none.fl_str_mv |
reponame:Repositório Científico de Acesso Aberto de Portugal (Repositórios Cientìficos) instname:Agência para a Sociedade do Conhecimento (UMIC) - FCT - Sociedade da Informação instacron:RCAAP |
instname_str |
Agência para a Sociedade do Conhecimento (UMIC) - FCT - Sociedade da Informação |
instacron_str |
RCAAP |
institution |
RCAAP |
reponame_str |
Repositório Científico de Acesso Aberto de Portugal (Repositórios Cientìficos) |
collection |
Repositório Científico de Acesso Aberto de Portugal (Repositórios Cientìficos) |
repository.name.fl_str_mv |
Repositório Científico de Acesso Aberto de Portugal (Repositórios Cientìficos) - Agência para a Sociedade do Conhecimento (UMIC) - FCT - Sociedade da Informação |
repository.mail.fl_str_mv |
|
_version_ |
1799136561612193792 |