A Teoria de Polinómios Ortogonais na Análise Transitória de Processos de Nascimentos e Morte

Detalhes bibliográficos
Autor(a) principal: Conde, Pedro Rafael de Matos
Data de Publicação: 2020
Tipo de documento: Dissertação
Idioma: por
Título da fonte: Repositório Científico de Acesso Aberto de Portugal (Repositórios Cientìficos)
Texto Completo: http://hdl.handle.net/10316/93872
Resumo: Dissertação de Mestrado em Matemática apresentada à Faculdade de Ciências e Tecnologia
id RCAP_51a26779114699ac285c6882a7e06159
oai_identifier_str oai:estudogeral.uc.pt:10316/93872
network_acronym_str RCAP
network_name_str Repositório Científico de Acesso Aberto de Portugal (Repositórios Cientìficos)
repository_id_str 7160
spelling A Teoria de Polinómios Ortogonais na Análise Transitória de Processos de Nascimentos e MorteThe Theory of Orthogonal Polynomials in the Transient Analysis of Birth-Death ProcessesTeoria de Polinómios OrtogonaisProcessos de Nascimento e MorteEquações de Chapman-KolmogorovModelos de fila de esperaTheory of Orthogonal PolynomialsBirth-Death ProcessesChapman-Kolmogorov EquationsQueueing ModelsDissertação de Mestrado em Matemática apresentada à Faculdade de Ciências e TecnologiaUma das principais características da Teoria de Polinómios Ortogonais é a sua é a sua ubiquidade; desde a sua relação com áreas fundamentais da matemática, como a Teoria de Operadores ou os Problemas de Momentos, até à sua aplicação a àreas do conhecimento como a física quântica e, tal como neste caso, à análise de certos tipos de processos estocásticos. O presente trabalho focar-se-á, especificamente, na linguagem de polinómios ortogonais como ferramenta na análise transitória de Processos de Nascimento e Morte, um caso particular de uma Cadeia de Markov a tempo contínuo. O primeiro capítulo terá como objectivo fornecer ao leitor uma bagagem sólida no que diz respeito aos conceitos introdutórios e resultados clássicos da teoria de polinómios ortogonais, assim como construir as fundações para o trabalho subsequente. O conceito de ortogonalidade de polinómios será dado relativamente a um funcional linear e muitos dos resultados clássicos, como os teoremas de Favard e Christoffel-Darboux, serão discutidos neste contexto. Ainda neste capítulo o conceito de ortogonalidade de polinómios é trabalhado relativamente a uma função de distribuição, o que será útil nos capítulos seguintes. No capítulo 2 começaremos por analisar o conceito de Cadeia de Markov a tempo contínuo demonstrando como é possível estudar as probabilidades de transição entre estados, deste tipo de processos estocásticos, através dos sistemas de equações diferenciais lineares de Chapman-Kolmogorov e, mais concretamente, como podemos decrevê-los no contexto de um processo de nascimento e morte. Assim, será possível introduzir o leitor às secções seguintes deste mesmo capítulo, onde finalmente a teoria de polinómios ortogonais será utilizada como ferramenta na análise destes mesmo sistemas. Neste contexto, começaremos por identificar os polinómios que iremos associar a um processo de nascimento e morte genérico e apresentar uma candidata a solução dos sistemas de Chapman-Kolmogorov, com base nestes mesmos polinómios. Discutir-se-á ainda a existência de ortogonalidade para os polinómios com que escolhemos trabalhar e por fim será apresentado, com todo o detalhe, o processo pelo qual as probabilidades de transição de um processo de nascimento e morte podem ser dadas neste contexto. O capítulo 3 irá, de certa forma, concretizar o trabalho previamente realizado. Teremos assim como objectivo determinar as probabilidades de transição de casos concretos de processos de nascimento e morte, mais especificamente de modelos de fila de espera como 1 ou 2 servidores. Este trabalho consistirá essencialmente, graças ao que concluímos no capítulo 2, no estudo da ortogonalidade dos polinómios que associaremos a estes mesmos modelos. Para tal, será importante ter em consideração alguns conceitos teóricos adicionais, como o Teorema de Markov, e analizaremos ainda um trabalho efectudado no contexto dos polinómios de Chebychev, como ponto de partida para o raciocínio subsequente. O percurso será a partir daí análogo para os dois modelos que nos propusémos a estudar, com naturais distinções a partir do momento em que é possível concretizar uma candidata a função peso de ortogonalidade para cada um dos casos. Serão, ao longo deste capítulo, discutidos alguns resultados teóricos (devidamente referenciados) cujas demonstrações serão omitidas, mantendo assimo foco do trabalho aqui realizado nas especificidades dos casos em estudo.One of the mains characteristics of the Theory of Orthogonal Polynomials is it's ubiquity; form it's relation with fundamental field of mathematics, like Operator Theory or the Moments Problems, to it's application to other fields of knowledge like quantum physics or, like in this case, to the analysis of certain types of stochastic processes. The presented work will focus specifically in the language of orthogonal polynomials as a tool in the transient analysis of Birth-Death Processes, a specific case of time-continuous Markov Chains. The first chapter will introduce the reader to the introductory concepts and classic results of the theory of orthogonal polynomials; it will also build the foundations for the subsequent work. The concept of polynomial orthogonality will be given with respect to a linear functional, and most classic results, like Favard's and Christoffel-Darboux's theorems, will be discussed in this context. Still in this chapter the concept of orthogonality for polynomials will be discussed with respect to a distribution function, what will be useful in the next chapters.In chapter 2 we will begin by analyzing the concept of time-continuous Markov Chain showing how the probabilities of transitions between states, of this type of stochastic processes, can be studied through the systems of linear differential equations of Chapman-Kolmogorov and, more specifically, how we can describe these systems in the context of a birth-death process. With this, it will be possible to introduce the reader to the next section of this chapter, where finally the theory of orthogonal polynomials will be used as a tool in the analysis of the referred systems. In this context, we will start by identifying the polynomials that we will associate to a generic birth-death process and present a candidate for the solution of the Chapman-Kolmogorov systems, based on these polynomials. The existence of orthogonality for the referred polynomials will be discussed and finally it will be presented, with all detail, the process by how the transition probabilities for a birth-death process can be given in this context.The third chapter will, in a way, materialize the previous work. Our objective will be to determine the transition probabilities of concrete cases of birth-death processes, more specifically queueing models with 1 or 2 servers. Given what we concluded in chapter 2, this work will consist essentially in the study of the orthogonality of the polynomials we will associate to these models. For this, it will be important to consider some additional theoretical concepts, like the Markov Theorem, and to analyze a work previously done in the context of the Chebychev polynoimials as a starting point for the subsequent arguments. From then on, the work will be analogous for both queueing models, with natural distinctions from the moment we can specify a candidate for a weight function of orthogonality for each case. Through this chapter some theoretical results will be discussed (rightly referenced) where the proofs will be omitted, for the sake of focusing in specificities of each case of study.Outro - O trabalho aqui desenvolvido foi parcialmente realizado no âmbito do projeto MobiWise: From mobile sensing to mobility advising (P2020 SAICTPAC / 0011/2015), co-financiado pelo COMPETE 2020, Portugal 2020 - Programa Operacional de Competitividade e Internacionalização (POCI), do ERDF (Fundo Europeu de Desenvolvimento Regional) da União Europeia e da Fundação portuguesa para a Ciência e Tecnologia (FCT).2020-12-18info:eu-repo/semantics/publishedVersioninfo:eu-repo/semantics/masterThesishttp://hdl.handle.net/10316/93872http://hdl.handle.net/10316/93872TID:202687767porConde, Pedro Rafael de Matosinfo:eu-repo/semantics/openAccessreponame:Repositório Científico de Acesso Aberto de Portugal (Repositórios Cientìficos)instname:Agência para a Sociedade do Conhecimento (UMIC) - FCT - Sociedade da Informaçãoinstacron:RCAAP2022-05-25T10:19:55Zoai:estudogeral.uc.pt:10316/93872Portal AgregadorONGhttps://www.rcaap.pt/oai/openaireopendoar:71602024-03-19T21:12:44.331390Repositório Científico de Acesso Aberto de Portugal (Repositórios Cientìficos) - Agência para a Sociedade do Conhecimento (UMIC) - FCT - Sociedade da Informaçãofalse
dc.title.none.fl_str_mv A Teoria de Polinómios Ortogonais na Análise Transitória de Processos de Nascimentos e Morte
The Theory of Orthogonal Polynomials in the Transient Analysis of Birth-Death Processes
title A Teoria de Polinómios Ortogonais na Análise Transitória de Processos de Nascimentos e Morte
spellingShingle A Teoria de Polinómios Ortogonais na Análise Transitória de Processos de Nascimentos e Morte
Conde, Pedro Rafael de Matos
Teoria de Polinómios Ortogonais
Processos de Nascimento e Morte
Equações de Chapman-Kolmogorov
Modelos de fila de espera
Theory of Orthogonal Polynomials
Birth-Death Processes
Chapman-Kolmogorov Equations
Queueing Models
title_short A Teoria de Polinómios Ortogonais na Análise Transitória de Processos de Nascimentos e Morte
title_full A Teoria de Polinómios Ortogonais na Análise Transitória de Processos de Nascimentos e Morte
title_fullStr A Teoria de Polinómios Ortogonais na Análise Transitória de Processos de Nascimentos e Morte
title_full_unstemmed A Teoria de Polinómios Ortogonais na Análise Transitória de Processos de Nascimentos e Morte
title_sort A Teoria de Polinómios Ortogonais na Análise Transitória de Processos de Nascimentos e Morte
author Conde, Pedro Rafael de Matos
author_facet Conde, Pedro Rafael de Matos
author_role author
dc.contributor.author.fl_str_mv Conde, Pedro Rafael de Matos
dc.subject.por.fl_str_mv Teoria de Polinómios Ortogonais
Processos de Nascimento e Morte
Equações de Chapman-Kolmogorov
Modelos de fila de espera
Theory of Orthogonal Polynomials
Birth-Death Processes
Chapman-Kolmogorov Equations
Queueing Models
topic Teoria de Polinómios Ortogonais
Processos de Nascimento e Morte
Equações de Chapman-Kolmogorov
Modelos de fila de espera
Theory of Orthogonal Polynomials
Birth-Death Processes
Chapman-Kolmogorov Equations
Queueing Models
description Dissertação de Mestrado em Matemática apresentada à Faculdade de Ciências e Tecnologia
publishDate 2020
dc.date.none.fl_str_mv 2020-12-18
dc.type.status.fl_str_mv info:eu-repo/semantics/publishedVersion
dc.type.driver.fl_str_mv info:eu-repo/semantics/masterThesis
format masterThesis
status_str publishedVersion
dc.identifier.uri.fl_str_mv http://hdl.handle.net/10316/93872
http://hdl.handle.net/10316/93872
TID:202687767
url http://hdl.handle.net/10316/93872
identifier_str_mv TID:202687767
dc.language.iso.fl_str_mv por
language por
dc.rights.driver.fl_str_mv info:eu-repo/semantics/openAccess
eu_rights_str_mv openAccess
dc.source.none.fl_str_mv reponame:Repositório Científico de Acesso Aberto de Portugal (Repositórios Cientìficos)
instname:Agência para a Sociedade do Conhecimento (UMIC) - FCT - Sociedade da Informação
instacron:RCAAP
instname_str Agência para a Sociedade do Conhecimento (UMIC) - FCT - Sociedade da Informação
instacron_str RCAAP
institution RCAAP
reponame_str Repositório Científico de Acesso Aberto de Portugal (Repositórios Cientìficos)
collection Repositório Científico de Acesso Aberto de Portugal (Repositórios Cientìficos)
repository.name.fl_str_mv Repositório Científico de Acesso Aberto de Portugal (Repositórios Cientìficos) - Agência para a Sociedade do Conhecimento (UMIC) - FCT - Sociedade da Informação
repository.mail.fl_str_mv
_version_ 1799134022988726272

Registros relacionados