Modules with a small injectivity domain
| Autor(a) principal: | |
|---|---|
| Data de Publicação: | 2022 |
| Tipo de documento: | Dissertação |
| Idioma: | eng |
| Título da fonte: | Repositório Científico de Acesso Aberto de Portugal (Repositórios Cientìficos) |
| Texto Completo: | http://hdl.handle.net/10451/57207 |
Resumo: | Tese de Mestrado, Matemática, 2022, Universidade de Lisboa, Faculdade de Ciências |
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Modules with a small injectivity domainMódulo injetivoDomínio de injetividadeMódulo pobreAnel sem classe intermédiaMódulo paupérrimoTeses de mestrado - 2022Domínio/Área Científica::Ciências Naturais::MatemáticasTese de Mestrado, Matemática, 2022, Universidade de Lisboa, Faculdade de CiênciasEsta dissertação tem como principal objetivo expor os conteúdos do artigo [3] de forma auto-contida. Neste é introduzido o estudo de módulos paupérrimos. Os conceitos principais que serão explorados são módulos pobres, anéis sem classe intermédia e módulos paupérrimos. Como veremos, as definições destes conceitos são derivadas da definição de módulos injetivos. Um módulo injetivo é um módulo cujo domínio de injetividade é máximo. Por outro lado, um módulo pobre é descrito como o oposto, isto é, um módulo diz-se pobre se o seu domínio de injetividade é mínimo. Notemos que esta dissertação não é um estudo completo em relação aos módulos pobres, nem sobre anéis sem classe intermédia. Um estudo mais abrangente é feito em [1, 2, 5, 8, 15, 27]. No esforço de manter esta dissertação auto-contida, o primeiro capítulo é dedicado a apresentar definições e resultados que variam entre resultados clássicos da teoria de módulos e anéis e resultados mais específicos e necessários relacionados com módulos injetivos. O segundo capítulo é dedicado ao estudo de módulos pobres e também anéis sem classe intermédia. O estudo de módulos pobres foi iniciado em [1]. Nesse artigo começa-se por notar que, se um R-módulo N é semisimples, então N pertence ao domínio de injetividade de qualquer outro R-módulo (Proposição 1.1.12). Também temos, para um anel arbitrário R, que a interseção dos domínios de injetividade de todos os R-módulos, sobre a categoria dos R-módulos, é precisamente a classe dos módulos semisimples (Proposição 2.1.3). Por outras palavras, um módulo M é pobre se, para qualquer R-módulo N, quando M é N-injetivo, então N é semisimples. A secção 2.1 é dedicada a introduzir conceitos essenciais, relacionados com módulos pobres, e alguns resultados mais ilustrativos, em relação à importância dos módulos pobres. Como por exemplo, o facto de qualquer anel admitir um módulo pobre (Teorema 2.1.2), e uma maneira explícita de obter módulos pobres (Proposição 2.1.7). Esta secção termina com a demonstração de que, ⊕p∈PZp, com P o conjunto dos números primos, é um Z-módulo pobre. Ainda em [1], define-se um anel R sem classe intermédia como um anel cujos R-módulos são todos injetivos ou são todos pobres. O estudo aqui apresentado acerca destes anéis parte maioritariamente de [15], mas também dos relevantes [5, 27]. Na secção 2.2, começamos por relacionar algumas classes de anéis com anéis sem classe intermédia. Por exemplo, um anel R é semisimples e Artiniano se e só se todos os R-módulos são pobres (Proposição 2.2.1). Também provamos que, se um anel R não tem classe intermédia, então qualquer anel quociente de R também não tem classe intermédia. Outro resultado relevante diz-nos que um anel sem classe intermédia à direita é semiartiniano à direita, ou Noetheriano à direita (Proposição 2.2.8). Além disso, podemos separar o primeiro caso em outros dois casos, R é Artiniano à direita, ou todos os R-módulos simples são injetivos (Proposição 2.2.11). O teorema mais importante desta secção oferece-nos uma caraterização da estrutura de um anel sem classe intermédia da seguinte forma: se R é um anel sem classe intermédia, então R ∼= S × T, onde S é um anel semisimples e Artiniano e T = 0 ou T pertence a uma das classes descrita em (a), (b), (c) do Teorema 2.2.14. Uma caracterização semelhante é dada na forma do Teorema 3.2.7. Terminamos esta secção com o Corolário 2.2.23, que garante que um anel comutativo sem classe intermédia é Artiniano. O último capítulo é dedicada aos módulos paupérrimos. Um módulo diz-se paupérrimo se é pobre e não contém nenhuma parcela direta própria que seja pobre. O estudo de módulos paupérrimos é inspirado na necessidade de uma caracterização intrínseca de módulos pobres. Uma razão para esta definição ser necessária é o facto de o domínio de injetividade de uma soma direta entre dois módulos ser igual à interseção dos domínios dessas parcelas (Lema 2.1.4). Isto implica que um módulo ser pobre é uma espécie de propriedade absorvente em relação à soma direta, isto é, a soma direta de um R-módulo pobre com um outro R-módulo qualquer é também pobre. Isto implica, de forma geral, que não existe muito interesse em algumas parcelas, daí querermos encontrar parcelas que sejam inerentemente pobres. O estudo de módulos paupérrimos exposto nesta dissertação passa por verificar que diferentes tipos de anéis verificam duas propriedades. A primeira, e mais simples, consiste em verificar em que classes de módulos é que existem módulos paupérrimos (Existência que representaremos por (E)). A segunda propriedade passa por verificar que todos os módulos pobres numa dada classe de módulos admitem módulos paupérrimos como parcelas diretas (Ubiquidade que representaremos por (U)). No nosso contexto, uma classe de módulos que satisfaça (U) está totalmente caracterizada. No entanto, em geral, (U) não é fácil de verificar. Sendo assim, definimos uma condição de ubiquidade mais fraca (representada por (U ′ )) da seguinte forma: todo o módulo pobre P contém um submódulo paupérrimo M tal que M é um submódulo puro de P. Para certos anéis, as condições (U) e (U ′ ) são equivalentes. Em particular, iremos verificar tal equivalência para anéis Noetherianos (Teorema 3.3.2). Em geral, a classe de módulos que consideramos é a categoria de R-módulos à direita. Neste caso, dizemos que R satisfaz (E), (U) ou (U ′ ). Ao contrário dos módulos pobres, nem todos os anéis admitem módulos paupérrimos. Por exemplo, um anel semiartiniano à direita, que não seja semisimples, cujos R-módulos simples sejam injetivos, não admite módulos paupérrimos (Proposição 3.1.1). No terceiro capítulo, o nosso estudo de módulos paupérrimos inicia-se com alguns exemplos explícitos de módulos paupérrimos, como ⊕p∈PZp e ∏ p∈P Zp, com P o conjunto dos números primos (Exemplos 3.1.4(i) e (ii)). Daí continuaremos a dar outros exemplos mais abstratos, de anéis que admitem módulos paupérrimos, como anéis de dimensão uniforme finita (Proposição 3.1.5) e anéis semilocais (Proposition 3.1.6). Um anel R sem classe intermédia admite um módulo paupérrimo se e só se R é o produto direto de um anel semisimples S, com um anel Noetheriano T (Corolário 3.1.10). Na secção 3.2, combinamos de forma natural a definição de módulo paupérrimo com a de anel sem classe intermédia. Num anel sem classe intermédia, um módulo é paupérrimo se e só se não é injetivo e é indecomponível. Assim sendo, faz sentido definirmos um anel sem classe intermédia indecomponível, à direita, se todos os R-módulos indecomponíveis, à direita, são pobres ou injetivos. Pela definição, torna-se claro que qualquer anel sem classe intermédia também é sem classe intermédia indecomponível. O recíproco é verdade para anéis Noetherianos comutativos (Corolário 3.2.6) e também para anéis Artinianos seriais (Teorema 3.2.8). As secções 3.3 e 3.4 são focadas em anéis Noetherianos e semiartinianos, respetivamente. Alguns dos principais resultados permitem-nos concluir que, se um anel Noetheriano comutativo e hereditário satisfaz (U ′ ) (Teorema 3.3.10), então também satisfaz (U). A classe dos módulos cujo radical é zero, sobre um anel semiartiniano comutativo, satisfaz (U ′ ) (Proposição 3.4.3). Além disso, qualquer anel Artiniano serial satisfaz (U) (Proposição 3.4.8). A última secção é dedicada a grupos abelianos, isto é, Z-módulos. A classe de grupos abelianos de torção e a classe de grupos abelianos livres de torção de dimensão um satisfazem (U). Estas afirmações seguem, respetivamente, da Proposição 3.5.6 e do Corolário 3.5.12. Remetemos para o apêndice conceitos necessários, mas que foram menos aprofundados pelo autor.An injective module is a module with the largest possible injectivity domain. A poor module is described as the opposite of an injective module, in the sense that a poor module is one whose injectivity domain is the smallest possible. A related concept to that of the poor module is that of a ring with no middle class. A ring has no right middle class if every right module is either poor or injective. Although, the concept we have the most interest on is that of the pauper module. A pauper module is a poor module with no proper poor direct summand. We will expose the importance of pauper modules regarding the characterization of poor modules over different rings. Furthermore, we shall characterize rings and their structures in function of their injectivity domains, in particular, regarding their poor and pauper modules. For any given ring, we have a particular interest in verifying certain conditions. The first condition being the existence of pauper modules. The other condition is that of ubiquity, for which we present two distinct cases. In the first one, every poor module contains a pauper direct summand. The second weaker one, is that every poor module contains a pauper module as a pure submodule.Gomes, Catarina Araújo de Santa ClaraRepositório da Universidade de LisboaGonçalves, Alexandre Rodrigues2023-04-20T15:51:37Z202220222022-01-01T00:00:00Zinfo:eu-repo/semantics/publishedVersioninfo:eu-repo/semantics/masterThesisapplication/pdfhttp://hdl.handle.net/10451/57207enginfo:eu-repo/semantics/openAccessreponame:Repositório Científico de Acesso Aberto de Portugal (Repositórios Cientìficos)instname:Agência para a Sociedade do Conhecimento (UMIC) - FCT - Sociedade da Informaçãoinstacron:RCAAP2023-11-08T17:05:19Zoai:repositorio.ul.pt:10451/57207Portal AgregadorONGhttps://www.rcaap.pt/oai/openaireopendoar:71602024-03-19T22:07:39.174165Repositório Científico de Acesso Aberto de Portugal (Repositórios Cientìficos) - Agência para a Sociedade do Conhecimento (UMIC) - FCT - Sociedade da Informaçãofalse |
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