Central limit theorem variations

Detalhes bibliográficos
Autor(a) principal: Alcântara, Daniel Tomás Vital de
Data de Publicação: 2019
Tipo de documento: Dissertação
Idioma: eng
Título da fonte: Repositório Científico de Acesso Aberto de Portugal (Repositórios Cientìficos)
Texto Completo: http://hdl.handle.net/10400.5/20409
Resumo: Mestrado em Mathematical Finance
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spelling Central limit theorem variationsTeorema do Limite CentralCentral Limit TeoremMestrado em Mathematical FinanceUm dos teoremas mais importantes da Teoria da Probabilidade é o Teorema do Limite Central. Este afirma que se Xn é uma sequência de variáveis aleatórias então as somas parciais normalizadas convergem para a distribuição normal. Além disso a ausência de pré condições faz-nos perguntar-nos se generalizações são possíveis. Particularmente neste manuscrito vamos focar-nos em duas questões: Existe uma taxa de convergência (universal) para o Teorema do Limite Central? Além disso em que circunstâncias podemos aplicar o Teorema do Limite Central? O teorema de Continuidade de Lévy afirma que a convergência em distribuição é equivalente à convergência nas funções características. Além disso quando aplicamos as expansões de Taylor a funções características ficamos com um polinómios com os momentos da variável como coeficientes. Por estas razões no nosso caso fazer os cálculos com funções características é preferível. Pelo teorema de Berry Essen podemos, de facto, encontrar a taxa de convergência que procuramos. E pelo teorema de Lindeberg e condição de Lyapunov podemos descobrir que o Teorema do Limite Central pode aplicar-se a sequências que não são identicamente distribuídas. Finalmente, utilizando o teorema ergódico vamos explicar como processos estocásticos estão relacionados com a teoria ergódica. Com isto vamos mostrar como este teorema pode ser utilizado pata encontrar um resultado quando a sequencia não é independente.One of the most important theorems of Probability Theory is the Central Limit Theorem. It states that if Xn is a sequence of random variables then the normal- ized partial sums converge to a normal distribution. This result omits any rate of convergence. Furthermore the lack of assumptions makes us wonder if some gener- alizations are possible. Particularly in this essay we will focus on two questions: Does it exist a (uni- versal) rate of convergence for the Central Limit Theorem? Furthermore in which circumstances can we apply the Central Limit Theorem? The Lévy Continuity Theorem states that convergence on distribution functions is equivalent to convergence on characteristic functions. Furthermore when we ap- ply Taylor expansions to characteristic functions we get a polynomial with the mo- ments as coefficients. For these reasons, on our case computing with characteristic functions is preferable. By the Berry Essen Theorem we can in fact find the rate of convergence we are looking for. And by the Lindeberg Theorem and Lyapunov Condition we find that the Central Limit Theorem applies to sequences that are not identically distributed. Finally, using the Ergodic Theorem we will explain how stochastic processes are related to Ergodic Theory. With this we will show how this theorem can be used to find a result when the sequence is not independent.Instituto Superior de Economia e GestãoDias, José LopesRepositório da Universidade de LisboaAlcântara, Daniel Tomás Vital de2020-09-30T13:31:53Z2019-122019-12-01T00:00:00Zinfo:eu-repo/semantics/publishedVersioninfo:eu-repo/semantics/masterThesisapplication/pdfhttp://hdl.handle.net/10400.5/20409engAlcântara, Daniel Tomás Vital de (2019). "Central limit theorem variations". Dissertação de Mestrado, Universidade de Lisboa. Instituto Superior de Economia e Gestão.info:eu-repo/semantics/openAccessreponame:Repositório Científico de Acesso Aberto de Portugal (Repositórios Cientìficos)instname:Agência para a Sociedade do Conhecimento (UMIC) - FCT - Sociedade da Informaçãoinstacron:RCAAP2023-03-06T14:49:51Zoai:www.repository.utl.pt:10400.5/20409Portal AgregadorONGhttps://www.rcaap.pt/oai/openaireopendoar:71602024-03-19T17:05:10.059003Repositório Científico de Acesso Aberto de Portugal (Repositórios Cientìficos) - Agência para a Sociedade do Conhecimento (UMIC) - FCT - Sociedade da Informaçãofalse
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