A simple iterative method for pricing american-style options

Detalhes bibliográficos
Autor(a) principal: Ramalho, Francisco Marques
Data de Publicação: 2016
Tipo de documento: Dissertação
Idioma: eng
Título da fonte: Repositório Científico de Acesso Aberto de Portugal (Repositórios Cientìficos)
Texto Completo: http://hdl.handle.net/10451/26172
Resumo: Tese de mestrado em Matemática Financeira, apresentada à Universidade de Lisboa, através da Faculdade de Ciências, 2016
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spelling A simple iterative method for pricing american-style optionsOpções americanasBarreira de exercício antecipadoAproximação numéricaMétodo iterativoTeses de mestrado - 2016Domínio/Área Científica::Ciências Naturais::MatemáticasTese de mestrado em Matemática Financeira, apresentada à Universidade de Lisboa, através da Faculdade de Ciências, 2016Esta tese tem como objectivo a análise e implementação do método iterativo para avaliação de opções Americanas proposto por Kim, Jang and Kim (2013) assumindo que o activo subjacente segue um movimento Browniano geométrico. Desde dos famosos estudos de Back-Scholes (1973) e de Merton (1973), são conhecidas as soluções para as fórmulas de avaliação de opções Europeias. Estas equações são fórmulas fechadas bem definidas e facilmente calculáveis. Contudo, o mesmo não se verifica para as opções Americanas, uma vez que este tipo de opção dá ao seu detentor a possibilidade de exercer o direito da opção antes da sua maturidade. Todavia, Merton (1973) afirma que se o ativo subjacente não pagar dividendos, não existe qualquer benefício em exercer a opção antecipadamente. Por consequência, estes contratos podem ser avaliados como se de opções Europeias se tratassem. Não obstante, Whaley (1981) prova que se o ativo subjacente pagar dividendos discretos no tempo, é possível definir uma fórmula analítica para avaliação de opções Americanas, visto que o momento ótimo para exercer a opção ocorre imediatamente antes do pagamento de um dividendo. A principal dificuldade matemática em encontrar uma fórmula analítica para avaliar opções Americanas deve-se ao facto da barreira de exercício ótimo ter de ser determinada como parte da solução da equação de Black-Scholes. Por este motivo, recorre-se a métodos numéricos e de aproximação para calcular o valor deste tipo de opções. Alguns dos métodos mais comuns são baseados no método binomial de Cox et al. (1979) e no método de diferenças finitas de Brennan e Schwartz (1976). Este tipo de métodos acarretam largos tempos computacionais e devido a sua natureza recursiva, podem gerar erros significativos quando se avaliam opções com longos períodos de maturidade. São também usados m´etodos de caracter aleatório, isto é, métodos que assumem que um parâmetro se comporta de forma aleatória e é lhe atribuída uma distribuição de probabilidade conhecida (Carr (1998)). A simplicidade destes métodos deve-se essencialmente ao comportamento da barreira de exercício ótimo – a barreira torna-se independente do tempo e o problema reduz-se a encontrar um único ponto crítico do valor do ativo sub-jacente. Apesar deste tipo de métodos gerar fórmulas de avaliação mais simples e com tempos de computação inferiores, é perdida alguma precisão no cálculo dos coeficientes de sensibilidade. Kim (1990) desenvolveu um novo capítulo na literatura ao introduzir os métodos de representações integrais para a avaliação de opções Americanas. A eficiência deste género de métodos encontra-se intrinsecamente ligada `a abordagem adotada para representar a barreira de exerc´ıcio ´otimo. Kim (1990) utiliza um método recursivo para determinar esta barreira, contudo o seu método não demonstra vantagens computacionais sobre outros métodos numéricos devido à sua complexidade e ao elevado número de equações necessárias no seu cálculo. Little et al. (2000) baseia-se no método de Kim (1990), no entanto oferece uma representação mais simples da barreira, reduzindo o grau dos integrais, e não sendo necessário recorrer a uma aproximação da função cumulativa da distribuição Normal. Huang et al. (1996) desenvolve um método que elimina a necessidade de discretizar a barreira de exercício ótimo, usando uma extrapolação de Richard que utiliza apenas três pontos da barreira de exercício ótimo. No mesmo espírito, Ju (1998) apresenta um esquema de idêntico de extrapolação. Todavia, Ju (1998) usa como base funções exponenciais para a representação da barreira, o que torna este método mais eficiente do ponto de vista computacional. Outro método com relevo na literatura, é o método desenvolvido por Zhu (2006), no qual é apresentado pela primeira vez uma solução explícita da equação de Black-Scholes. Apesar deste feito notável, este método não é atrativo do ponto de vista computacional, devido a sua complexidade numérica – a solução é baseada numa expansão em series de Taylor a qual contem uma infinidade de termos, e em que cada termo é composto por três integrais simples e dois integrais duplos. O método sugerido por Kim et al. (2013) pretende oferecer uma solução viável para algumas das limitações dos métodos correntes. Para isso, Kim et al. (2013) propõe uma solução não recursiva e uma representação menos complexa para a barreira de exercício ótimo, contendo somente um integral. Este método explora a ideia abordada por Little et al. (2000) em que o preço do ativo subjacente é expresso como função da barreira de exercício ótimo. Similarmente a Little et al. (2000), Kim et al. (2013) deriva uma equação em que ambos os membros contêm a barreira de exercício ótimo, no entanto, Kim et al. (2013) interpreta esta equação por outra perspetiva: Kim et al. (2013) utiliza o segundo membro da equação como sendo uma aproximação do primeiro membro. Isto possibilita a criação de um algoritmo iterativo, conduzindo a uma aproximação da função da barreira de exercício ótimo. Esta aproximação é tanto melhor quanto maior o numero de iterações executadas pelo método. Contudo, o método mostra-se bastante eficiente, na medida que ao fim de quatro iterações, o valor da barreira de exercício ótimo não se altera significativamente. Uma vez obtida a função da barreira de exercício ótimo, o valor da opção Americana é facilmente calculado. O método iterativo estudado mostrou ser competitivo para a avaliação de opções Americanas, no entanto a sua eficácia depende das circunstâncias em que está a ser utilizado. O fator determinante para a eficácia deste método é o número de vezes que a barreira de exercício ótimo tem de ser calculada. A barreira depende de quatro variáveis: preço de exercício da opção, volatilidade, taxa de juro e taxa de rendimento de dividendos (K, σ, r e q, respetivamente). Estes fatores dependem diretamente das opções que estamos a avaliar: se estes quatro parâmetros forem iguais em todas as opções, a barreira de exercício ótimo é a mesma, e portanto apenas necessita de ser calculada uma vez. Se algum dos parâmetros for diferente em alguma das opções que estejamos a avaliar, a barreira de exercício ótimo precisa de ser recalculada. No entanto, mesmo que todas as opções tenham barreiras de exercício ótimo diferentes, o método de Kim et al. (2013) é ainda assim mais rápido (6 a 8 vezes) que o método binomial. A grande vantagem deste método está no cálculo dos coeficientes de sensibilidade. Contrariamente aos métodos numéricos, em que é necessário o cálculo de duas opções para determinar um coeficiente de sensibilidade, o método de Kim et al. (2013) apresenta uma fórmula exata para o cálculo dos mesmos. A dissertação está organizada da seguinte forma. No Capítulo 1 são apresentados alguns dos métodos mais comuns na avaliação de opções Americanas. No Capítulo 2 define-se o modelo e os pressupostos relativos ao ativo subjacente nos quais nos vamos debruçar ao longo do estudo. São também revistos vários conceitos e resultados teóricos conhecidos da literatura. No Capítulo 3 é explorado o trabalho de Little et al. (2000) e apresentada uma nova equação para a barreira de exercício ótimo. No Capitulo 4, define-se como podemos utilizar esta nova equação para criar um algoritmo iterativo capaz de calcular o valor de opções Americanas. No Capítulo 5 são apresentados os resultados do algoritmo e é feita uma comparação em relação à precisão e velocidade do método iterativo contra outros algoritmos usados na literatura. No Capítulo 6 estendemos o estudo de Kim et al. (2013) a ativos com dividendos. No Capítulo 7 são apresentados as conclusões do estudo.In this thesis it is analyzed and implemented the iterative method for the valuation of American options proposed by Kim, Jang and Kim (2013) assuming the underlying asset price follow a geometric Brownian motion. The method suggested by Kim et al. (2013) intends to offer a viable solution from some of the limitations found on the traditional methods. In order to reach this objective, Kim et al. (2013) proposes a non-recursive solution and a simpler representation of the optimal exercise boundary, containing only a single integral. This method explores the Little et al.’s (2000) idea in which the price of the underlying asset is defined as a function of the optimal exercise boundary. Similarly to Little et al. (2000), Kim et al. (2013) derives an equation in which both sides are dependable of the optimal exercise boundary. However, Kim et al. (2013) takes a different approach by considering the right-hand side term as an approximation of the left-hand side of the equation. With this in mind, one can create an iterative algorithm that leads to an approximation of the early exercise boundary. This approximation can be more accurate if the number of the iterations is increased. Once the optimal exercise boundary is achieved, the value of the American option is easily obtained. Furthermore, founding the value of the Greeks is equally effortless, as this method offers an exact formula for this sensitivity factors. This is a huge advantage over the conventional numeric methods, which often needs to calculate the value of 2 options. Overall this method is more efficient than other traditional numerical methods. However his performance is directly dependable on the options that are being evaluated, as calculating the optimal exercise boundary is the most time consuming step on this method (different options may have different optimal exercise boundaries).Dias, José Carlos GonçalvesRepositório da Universidade de LisboaRamalho, Francisco Marques2017-01-24T15:46:20Z201620162016-01-01T00:00:00Zinfo:eu-repo/semantics/publishedVersioninfo:eu-repo/semantics/masterThesisapplication/pdfhttp://hdl.handle.net/10451/26172TID:201693542enginfo:eu-repo/semantics/openAccessreponame:Repositório Científico de Acesso Aberto de Portugal (Repositórios Cientìficos)instname:Agência para a Sociedade do Conhecimento (UMIC) - FCT - Sociedade da Informaçãoinstacron:RCAAP2023-11-08T16:16:09Zoai:repositorio.ul.pt:10451/26172Portal AgregadorONGhttps://www.rcaap.pt/oai/openaireopendoar:71602024-03-19T21:42:55.217942Repositório Científico de Acesso Aberto de Portugal (Repositórios Cientìficos) - Agência para a Sociedade do Conhecimento (UMIC) - FCT - Sociedade da Informaçãofalse
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