Divisão da lemniscata em partes iguais

• Autor(a) principal: Reis, Ilda
• Data de Publicação: 2006
• Tipo de documento: Dissertação
• Idioma: por
• Título da fonte: Repositório Científico de Acesso Aberto de Portugal (Repositórios Cientìficos)
• Texto Completo: http://hdl.handle.net/10198/1785
• topic: Lemniscata; Numeros construíveis; Teoria de Galois; Funções elípticas

O objectivo deste texto é o de completar, em detalhe, o lado direito da tabela que se anexa, que compara o papel de duas curvas - a circunferência unitária e a lemniscata de Bernoulli - na construção das inversas das funções comprimento de arco e na divisão em partes iguais. As lemniscatas caracterizam-se por serem conjuntos de pontos do plano cujo produto das distâncias a dois pontos fi xos é constante. O cálculo do comprimento total da lemniscata que aqui consideramos conduz a um integral elíptico (Bernoulli, 1694), de função que não tem primitiva imediata mas cujo valor se obtém por procedimento elementar através do algoritmo, delineado por Lagrange (1785)e Gauss (1790), que constrói a média aritmética e geométrica de dois números positivos. A função comprimento de arco da lemniscata tem propriedades semelhantes às conhecidas para a arco seno trigonométrico e a sua inversão conduz a um caso particular, de especial interesse, na família das funções elípticas: o seno da lemniscata, senlem. Esta é uma função periódica de período 2w cuja extensão meromorfa aos complexos é duplamente periódica (de período 2w e 2wi)e portanto elíptica, onde 2w designa o comprimento total da lemniscata que substitui neste contexto 2pi, o comprimento da circunferência unitária e período da função seno trigonométrico, sen. Veri ca fórmulas de adição análogas às da função seno, obtidas por Euler em 1751 depois de receber cópia da obra de Fagnano (1718)onde se deduz uma fórmula para o comprimento do dobro de um arco de lemniscata e, consequentemente, que é possível duplicar arcos de lemniscata, com régua não graduada e compasso. A possibilidade de construir, com régua não graduada e compasso, um polígono regular de n lados é equivalente à divisão, com estes instrumentos, da circunferência unitária em n arcos de igual comprimento; e este procedi- mento corresponde à construção dos reais sen (2kpi/n), onde 0 <= k < n-1, uma vez que os valores dos cossenos destes ângulos têm uma relação quadrática com os senos. Gauss e Wantzel provaram que esta construção é possível se e só se n = 2^kp1p2...pt, onde k é um inteiro não negativo e p1, p2, ... , pt são primos de Fermat distintos. Por falta de simetria, estas interligações geométricas não se transferem integralmente para o contexto da lemniscata e por isso não falaremos aqui da inscrição de polígonos regulares na lemniscata. O que Abel (1827) generalizou para a lemniscata foi a equivalência entre a possibilidade de construir, com régua não graduada e compasso, os reais senlem(2kw/n), onde 0 <= k <= n - 1, e os valores de n como descritos acima. Ou seja, é possível dividir em n arcos de igual comprimento um quadrante da lemniscata se e só se n tem a factorização indicada. Na apresentação que aqui fazemos deste assunto seguiremos de perto os textos de [Hadlock] e [Rosen]; a bibliogra a contém outras referências que complementam o texto. Como apoio, incluiram-se alguns capítulos de abordagem geral, mas resumida, sobre funções elípticas, números construíveis, polígonos regulares construíveis - seguindo as demonstrações originais de Gauss e Wantzel - e a Teoria de Galois.