Análise da difusão através de métodos probabilísticos e dimensão de Hausdorff

Detalhes bibliográficos
Autor(a) principal: Santos, Filipe André Paulino
Data de Publicação: 2012
Tipo de documento: Dissertação
Idioma: por
Título da fonte: Repositório Científico de Acesso Aberto de Portugal (Repositórios Cientìficos)
Texto Completo: http://hdl.handle.net/10400.5/10848
Resumo: Mestrado em Matemática Financeira
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spelling Análise da difusão através de métodos probabilísticos e dimensão de HausdorffEquação do calorDifusãoPasseio aleatórioMovimento brownianoFractalDimensão de HausdorffHeat EquationDiffusionRandom walkBrownian motionHausdorff dimensionMestrado em Matemática FinanceiraA presente tese consiste numa exposição teórica da relação entre os processos de difusão e os métodos probabilísticos que podem ser usados para os descrever. Centramos-nos em processos estocásticos de aplicabilidade em Finanças como o passeio aleatório para o caso discreto e o movimento browniano visto como o seu limite no caso contínuo. É feita a modelação do fenómeno do calor culminando na resolução ou verificação da equação do calor, intimamente ligada com a equação de Black-Scholes como patente na fórmula de Feynman-Kac. Na segunda metade é introduzida a geometria fractal, tendo como principal conceito a dimensão de Hausdorff. Esta dimensão é de extrema importância para o estudo das trajectórias do movimento browniano e de todos os outros os processos utilizados em Finanças que exibem o mesmo comportamento fractal. Além de todo um conjunto de ferramentas e técnicas para a análise de fractais, é feito o cálculo rigoroso da dimensão de Hausdorff do gráfico das trajectórias do movimento browniano. São ainda obtidos resultados sobre a diferenciabilidade por intervalos dessas mesmas trajectórias.The present thesis is a theoretical exposition of the relation between the diffusion processes and the probabilistic methods that can be used to describe them. We focus in stochastic processes with applicability in Finance, like the random walk for the discrete case and the Brownian motion seen as his continuous time limit. Then we do the modelling of the heat phenomenon culminating in the resolution or verification of the heat equation which is deeply connected with the Black-Scholes equation as in the Feynman-Kac formula. On the second half we introduce the fractal geometry, having as main concept the Hausdorff dimension. This is of great importance for the study of Brownian motion trajectories and all other processes used in Finance presenting the same fractal behaviour. Besides the introduction of a whole set of tools and techniques for fractal analysis, we do the rigorous Hausdorff dimension computation for the Brownian motion trajectories. Moreover, we obtain results about the differentiability by intervals for these same trajectories.Instituto Superior de Economia e GestãoDias, João LopesRepositório da Universidade de LisboaSantos, Filipe André Paulino2016-02-04T11:31:54Z20122012-01-01T00:00:00Zinfo:eu-repo/semantics/publishedVersioninfo:eu-repo/semantics/masterThesisapplication/pdfhttp://hdl.handle.net/10400.5/10848porSantos, Filipe André Paulino (2012). "Análise da difusão através de métodos probabilísticos e dimensão de Hausdorff". Dissertação de Mestrado, Universidade Técnica de Lisboa. Instituto Superior de Economia e Gestão.info:eu-repo/semantics/openAccessreponame:Repositório Científico de Acesso Aberto de Portugal (Repositórios Cientìficos)instname:Agência para a Sociedade do Conhecimento (UMIC) - FCT - Sociedade da Informaçãoinstacron:RCAAP2023-03-06T14:41:08Zoai:www.repository.utl.pt:10400.5/10848Portal AgregadorONGhttps://www.rcaap.pt/oai/openaireopendoar:71602024-03-19T16:57:14.560532Repositório Científico de Acesso Aberto de Portugal (Repositórios Cientìficos) - Agência para a Sociedade do Conhecimento (UMIC) - FCT - Sociedade da Informaçãofalse
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